Question

求和：Sn=x+2x^2+3x^3+……+nx^n x不等于0

Answer 1

求和：Sn=x+2x^2+3x^3+……+nx^n x不等于0
解：Sn=x+2x^2+3x^3+.........+nx^n
用x乘两边得：
xSn=x^2+2x^3+3x^4+.....+(n-1)x^n+nx^(n+1)
两式错项相减得:
(1-x)Sn=x+x^2+x^3+x^4+......+x^n-nx^(n+1）=x(1-x^n)/(1-x)-nx^(n+1)
故Sn=x(1-x^n)/(1-x)^2-[nx^(n+1)]/(1-x)

Answer 2

解：
x=1时，Sn=1+2+3+...+n=n(n+1)/2
x≠1时，
Sn=x+2x^2+3x^3+...+nx^n
xSn= x^2+2x^3+...+(n-1)x^n+nx^(n+1)
Sn-xSn=x+x^2+x^3+...+x^n-nx^(n+1)
(1-x)Sn=x(x^n-1)/(x-1)-nx^(n+1)=[x^(n+1)-x-nxx^(n+1)+nx^(n+1)]/(x-1)
=[(n-nx+1)x^(n+1)-x]/(x-1)

Sn=[(nx-n-1)x^(n+1)+x]/(x-1)²

提示：这个题x-1做分母，因此要考虑x=1时的情况，需要分类讨论的。

Answer 3

令S=2X^2+3x^3+4x^4+……+nx^n
XS=2X^3+3x^4+4x^5+……+nx^（n+1）

相减：(1-X)S=2X^2+(x^3+x^4+....+x^n)-nx^(n+1)
(1-x)S=2x^2+x^3(x^(n-2)-1)/(x-1)-nx^(n+1)
然后把(1-x)除过去就可以了
最后加一个x就可以了