抛物线y=x²bx+c的对称轴为直线x=1,且图像与x轴交于AB两点(A在B点的左侧)
AB=4,与y轴交于C点,顶点是M(1)求抛物线解析式(2)在抛物线上是否存在点P,使得O.C.M.P四点构成的四边形为梯形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P坐标;若...
AB=4,与y轴交于C点,顶点是M
(1)求抛物线解析式
(2)在抛物线上是否存在点P,使得O.C.M.P四点构成的四边形为梯形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P坐标;若不存在,请说明理由。
(3)设直线y=-x+3与X轴的交点是D,在线段BD上任取一点E(不与B.D重合),经过A.B.E三点的圆交直线BC于F,试判断△AEF的形状,并说明理由。
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(1)求抛物线解析式
(2)在抛物线上是否存在点P,使得O.C.M.P四点构成的四边形为梯形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P坐标;若不存在,请说明理由。
(3)设直线y=-x+3与X轴的交点是D,在线段BD上任取一点E(不与B.D重合),经过A.B.E三点的圆交直线BC于F,试判断△AEF的形状,并说明理由。
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4个回答
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1、P是抛物线y²=4x的点 则点P到直线4x+3y+15=0的距离最小值是多少?
解:设点P到直线的距离为d
设点P的坐标为(y²/4,y)
代入距离公式
d=|y²+3y+15|/√(4²+3²)=|(y+3/2)²+51/4|/5
很明显,y=-3/2时,y²+3y+15有最小值是51/4所以点P到直线的距离最小值是51/20
2、在直角坐标系中,抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于a,b两点,(点a在点b左侧),与y轴交于点c,点a(-3,0)点c(0,3),且抛物线对称轴是x=-2(1)若p是线段ac上一点,设△abp,△bpc的面积分别为s△abp,s△bpc,且s△abp比s△bpc=2比3,求p坐标(2)设圆心q半径为1,圆心q在抛物线上运动,则在运动过程中手否存在圆心q与y轴相切的情况,求q的坐标
解:(1)根据题意
对称轴x=-2
那么点b的坐标是(-1,0)
s△abp比s△bpc=2比3
因为s△abp和s△bpc是不同底而等高
也就是说ap:pc=2:3
oa²+oc²=ac²
ac=3√2
oa=oc,所以角oac是45度
那么点p到y轴距离=ac×3/5×cos角oac=3√2×3/5×√2/2=9/5
点p到x轴距离=ac×2/5×sin角oac=3√2×2/5×√2/2=6/5
所以点p的坐标是(-9/5,6/5)
(2)根据题意设抛物线解析式为y=ax²+bx+3
将(-3,0)(-2,0)代入
9a-3b+3=0
4a-2b+3=0
解得
a=1/2,b=-5/2
y=1/2x²-5/2x+3
如果存在q点,那么也就是说点q的距离到y轴=1
也就是当x=1或-1的时候
x=-1,y=0
x=1,y=5
q(-1,0)或(1,5)
3、直线y=-x+6与x轴交于点A,与y轴交与点B,以线段AB为直径作圆C,抛物线y=ax的平方+bx+c过A,C,O三点。 1、求点C的坐标和抛物线的解析式。2.过点B作直线与x轴交于点D,且OB的平方=OA*OD,求证DB是圆C的切线。3.抛物线上是否存在一点P,使以P,O,C,A为顶点的四边形为直角梯形,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由。
解:如图
1、令x=0和y=0分别求出点A和B的坐标
点A(6,0),B(0,6)
圆心C的坐标为(3,3)
设抛物线的方程为y=ax²+bx
将(3,3)和(6,0)分别代入
9a+3b=3
36a+6b=0
解得
a=-1/3,b=2
抛物线的解析式为y=-1/3x²+2x
2、设点D的坐标为(x,0)
|OB|=6,|OD|=|x|,|OA|=6
根据题意
36=|x|×6
x=-6或6(舍去)
点D的坐标为(-6,0)
|AD|=12,|AB|=6√2,|BD|=6√2
|AB|²+|BD|²=|AD|²
所以∠ABD=90度
BD是圆C的切线
3、存在一点P
|OA|=6,|OC|=3√2,|AC|=3√2
|OC|²+|AC|²=|OA|²
所以∠OCA=90度
过点A作OC的平行线交抛物线于点P,交y轴于点E,点P即为所求
由题意可知
BD‖OC‖AP,且C为AB中点
所以点O为BE中点,点E的坐标为 (0,-6)
直线AP和直线AB垂直,所以直线AP的斜率是1
直线AP的方程为y=x-6
联立
y=x-6(1)
y=-1/3x²+2x(2)
(1)代入(2)
x-6=-1/3x²+2x
化简
x²-3x-18=0
(x-6)(x+3)=0
x=-3或x=6(舍去,此时为点A坐标)
x=-3时,y=-9
所以点P的坐标为(-3,-9)
4、已知点P是函数y=1/2x(x>0)图像上的一点,PA⊥x轴于点A,交函数Y=1/x(x>0)图像于点M ,PB⊥y轴于点B,交函数y=1/x(x>0)于点N(点MN不重合)
(1)当点P的横坐标为2时,求△PMN的面积;
(2)证明:MN‖AB;(如图7)
(3)试问:△OMN能否为直角三角形?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明理由.
解:(1)点P横的坐标是2,那么纵坐标是1
点P(2,1),A(2,0),B(0,1)
将x=2代入y=1/x,y=1/2,那么点M的坐标(2,1/2)
将y=1代入y=1/x,x=1,那么点N的坐标为(1,1)
PM=1-1/2=1/2
PN=2-1=1
S△PMN=1/2×PM×PN=1/2×1/2×1=1/4
(2)
直线AB的斜率=(0-1)/(2-0)=-1/2
直线MN的斜率=(1/2-1)/(2-1)=-1/2
二者斜率相等
那么AB‖MN
(3)设点P的坐标为(2a,a)
则点M的坐标为(2a,1/2a)点N的坐标为(1/a,a)
直线AB的斜率是-1/2,∠MON明显不是直角
与直线AB垂直的直线方程是y=2x
y=2x
y=1/x
联立
x²=1/2
x=√2/2或-√2/2(舍去)
y=√2
点N的坐标就是(√2/2,√2)
点P的纵坐标就是√2,横坐标就是2√2
此时点M的坐标就是(2√2,√2/4)
此时ON垂直MN,三角形OMN是直角三角形
点P的坐标是(2√2.,√2)
5、知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交与A、B两点,与y轴交与点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x²-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2。
(1)求此抛物线的表达式
(2)连接AC、BC、,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E做EF//AC交与点F,连接CE,设AE的长为m,⊿CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的基础上说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此点E的坐标,判断此时⊿BCE的形状;若不存在,请说明理由。
解:(1)方程x²-10x+16=0
(x-2)(x-8)=0
x=2或x=8
那么OB=2,OC=8
点B的坐标为(2,0),点C(0,8)
设抛物线为y=a(x+2)²+b
代入
16a+b=0(1)
4a+b=8(2)
(1)-(2)
12a=-8
a=-2/3
b=32/3
抛物线方程为y=-2/3(x+2)²+32/3=-2/3x²-8/3x+8
(2)点A的坐标为(-6,0)关于x=-2和点B对称
点E的坐标为(m-6,0)
直线AC的斜率=8/6=4/3
那么EF的斜率=4/3
直线BC的方程为x/2+y/8=1
4x+y=8
设直线EF的方程为y=4/3x+b
将点E代入
0=4/3(m-6)+b
b=8-4/3m
直线EF的方程为y=4/3x+8-4/3m
与4x+y=8求出交点(m/4,8-m)
S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BFE
=1/2×8×8-1/2×m×8-1/2×(8-m)×(8-m)
=-1/2(m-8)²-4m+32
=-1/2m²+8m-32-4m+32
=-1/2m²+4m
0<m<8
(3)S=-1/2m²+4m=-1/2(m²-8m)=-1/2(m-4)²+8
此时m=4的时候S有最大值
S=8,此时点E的坐标(-2,0)
即为原来抛物线的对称轴上
△BCE是等腰三角形
OE=BE=2
OC垂直平分BE,所以△BCE是等腰三角形
6、“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图,其中线段PA表示距离水面( 轴)高度为5m的平台(点P在 轴上)。滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分,滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分,两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点,且点B到水面的距离BE=2m,点B到y轴的距离是5m。当小明从上而下滑到点C时,与水面的距离CG=3/2 m,与点B的水平距离CF=2m.
(1)求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围.
(2)求二次函数的解析式及其自变量的取值范围.
(3)小明从点A滑水面上点D处时,试求他所滑过的水平距离
解:(1)
根据题意
我们确定几个点的坐标
B(5,2),C(7,3/2)
设AB的解析式为y=k/x
将点B代入
2=k/5
k=10
AB的解析式为y=10/x
当y=5的时候,x=2
所以点A(2,5)
那么自变量下的取值范围为(2≤x≤5)
(2)设抛物线BCD的解析式为
y=a(x-5)²+2
将点C的坐标代入
那么
3/2=a×4+2
a=-1/8
y=-1/8(x-5)²+2=-1/8x²+5/4x-9/8
令y=0
-1/8x²+5/4x-9/8=0
x²-10x+9=0
(x-1)(x-9)=0
x=1或x=9
所以点D的坐标为(9,0)
自变量x的取值范围5≤x≤9
(3)水平距离=|OD-PA|=|9-2|=7
未必符合,仅供学习参考,祝你学习进步!
有需要hi我
解:设点P到直线的距离为d
设点P的坐标为(y²/4,y)
代入距离公式
d=|y²+3y+15|/√(4²+3²)=|(y+3/2)²+51/4|/5
很明显,y=-3/2时,y²+3y+15有最小值是51/4所以点P到直线的距离最小值是51/20
2、在直角坐标系中,抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于a,b两点,(点a在点b左侧),与y轴交于点c,点a(-3,0)点c(0,3),且抛物线对称轴是x=-2(1)若p是线段ac上一点,设△abp,△bpc的面积分别为s△abp,s△bpc,且s△abp比s△bpc=2比3,求p坐标(2)设圆心q半径为1,圆心q在抛物线上运动,则在运动过程中手否存在圆心q与y轴相切的情况,求q的坐标
解:(1)根据题意
对称轴x=-2
那么点b的坐标是(-1,0)
s△abp比s△bpc=2比3
因为s△abp和s△bpc是不同底而等高
也就是说ap:pc=2:3
oa²+oc²=ac²
ac=3√2
oa=oc,所以角oac是45度
那么点p到y轴距离=ac×3/5×cos角oac=3√2×3/5×√2/2=9/5
点p到x轴距离=ac×2/5×sin角oac=3√2×2/5×√2/2=6/5
所以点p的坐标是(-9/5,6/5)
(2)根据题意设抛物线解析式为y=ax²+bx+3
将(-3,0)(-2,0)代入
9a-3b+3=0
4a-2b+3=0
解得
a=1/2,b=-5/2
y=1/2x²-5/2x+3
如果存在q点,那么也就是说点q的距离到y轴=1
也就是当x=1或-1的时候
x=-1,y=0
x=1,y=5
q(-1,0)或(1,5)
3、直线y=-x+6与x轴交于点A,与y轴交与点B,以线段AB为直径作圆C,抛物线y=ax的平方+bx+c过A,C,O三点。 1、求点C的坐标和抛物线的解析式。2.过点B作直线与x轴交于点D,且OB的平方=OA*OD,求证DB是圆C的切线。3.抛物线上是否存在一点P,使以P,O,C,A为顶点的四边形为直角梯形,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由。
解:如图
1、令x=0和y=0分别求出点A和B的坐标
点A(6,0),B(0,6)
圆心C的坐标为(3,3)
设抛物线的方程为y=ax²+bx
将(3,3)和(6,0)分别代入
9a+3b=3
36a+6b=0
解得
a=-1/3,b=2
抛物线的解析式为y=-1/3x²+2x
2、设点D的坐标为(x,0)
|OB|=6,|OD|=|x|,|OA|=6
根据题意
36=|x|×6
x=-6或6(舍去)
点D的坐标为(-6,0)
|AD|=12,|AB|=6√2,|BD|=6√2
|AB|²+|BD|²=|AD|²
所以∠ABD=90度
BD是圆C的切线
3、存在一点P
|OA|=6,|OC|=3√2,|AC|=3√2
|OC|²+|AC|²=|OA|²
所以∠OCA=90度
过点A作OC的平行线交抛物线于点P,交y轴于点E,点P即为所求
由题意可知
BD‖OC‖AP,且C为AB中点
所以点O为BE中点,点E的坐标为 (0,-6)
直线AP和直线AB垂直,所以直线AP的斜率是1
直线AP的方程为y=x-6
联立
y=x-6(1)
y=-1/3x²+2x(2)
(1)代入(2)
x-6=-1/3x²+2x
化简
x²-3x-18=0
(x-6)(x+3)=0
x=-3或x=6(舍去,此时为点A坐标)
x=-3时,y=-9
所以点P的坐标为(-3,-9)
4、已知点P是函数y=1/2x(x>0)图像上的一点,PA⊥x轴于点A,交函数Y=1/x(x>0)图像于点M ,PB⊥y轴于点B,交函数y=1/x(x>0)于点N(点MN不重合)
(1)当点P的横坐标为2时,求△PMN的面积;
(2)证明:MN‖AB;(如图7)
(3)试问:△OMN能否为直角三角形?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明理由.
解:(1)点P横的坐标是2,那么纵坐标是1
点P(2,1),A(2,0),B(0,1)
将x=2代入y=1/x,y=1/2,那么点M的坐标(2,1/2)
将y=1代入y=1/x,x=1,那么点N的坐标为(1,1)
PM=1-1/2=1/2
PN=2-1=1
S△PMN=1/2×PM×PN=1/2×1/2×1=1/4
(2)
直线AB的斜率=(0-1)/(2-0)=-1/2
直线MN的斜率=(1/2-1)/(2-1)=-1/2
二者斜率相等
那么AB‖MN
(3)设点P的坐标为(2a,a)
则点M的坐标为(2a,1/2a)点N的坐标为(1/a,a)
直线AB的斜率是-1/2,∠MON明显不是直角
与直线AB垂直的直线方程是y=2x
y=2x
y=1/x
联立
x²=1/2
x=√2/2或-√2/2(舍去)
y=√2
点N的坐标就是(√2/2,√2)
点P的纵坐标就是√2,横坐标就是2√2
此时点M的坐标就是(2√2,√2/4)
此时ON垂直MN,三角形OMN是直角三角形
点P的坐标是(2√2.,√2)
5、知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交与A、B两点,与y轴交与点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x²-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2。
(1)求此抛物线的表达式
(2)连接AC、BC、,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E做EF//AC交与点F,连接CE,设AE的长为m,⊿CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的基础上说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此点E的坐标,判断此时⊿BCE的形状;若不存在,请说明理由。
解:(1)方程x²-10x+16=0
(x-2)(x-8)=0
x=2或x=8
那么OB=2,OC=8
点B的坐标为(2,0),点C(0,8)
设抛物线为y=a(x+2)²+b
代入
16a+b=0(1)
4a+b=8(2)
(1)-(2)
12a=-8
a=-2/3
b=32/3
抛物线方程为y=-2/3(x+2)²+32/3=-2/3x²-8/3x+8
(2)点A的坐标为(-6,0)关于x=-2和点B对称
点E的坐标为(m-6,0)
直线AC的斜率=8/6=4/3
那么EF的斜率=4/3
直线BC的方程为x/2+y/8=1
4x+y=8
设直线EF的方程为y=4/3x+b
将点E代入
0=4/3(m-6)+b
b=8-4/3m
直线EF的方程为y=4/3x+8-4/3m
与4x+y=8求出交点(m/4,8-m)
S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BFE
=1/2×8×8-1/2×m×8-1/2×(8-m)×(8-m)
=-1/2(m-8)²-4m+32
=-1/2m²+8m-32-4m+32
=-1/2m²+4m
0<m<8
(3)S=-1/2m²+4m=-1/2(m²-8m)=-1/2(m-4)²+8
此时m=4的时候S有最大值
S=8,此时点E的坐标(-2,0)
即为原来抛物线的对称轴上
△BCE是等腰三角形
OE=BE=2
OC垂直平分BE,所以△BCE是等腰三角形
6、“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图,其中线段PA表示距离水面( 轴)高度为5m的平台(点P在 轴上)。滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分,滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分,两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点,且点B到水面的距离BE=2m,点B到y轴的距离是5m。当小明从上而下滑到点C时,与水面的距离CG=3/2 m,与点B的水平距离CF=2m.
(1)求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围.
(2)求二次函数的解析式及其自变量的取值范围.
(3)小明从点A滑水面上点D处时,试求他所滑过的水平距离
解:(1)
根据题意
我们确定几个点的坐标
B(5,2),C(7,3/2)
设AB的解析式为y=k/x
将点B代入
2=k/5
k=10
AB的解析式为y=10/x
当y=5的时候,x=2
所以点A(2,5)
那么自变量下的取值范围为(2≤x≤5)
(2)设抛物线BCD的解析式为
y=a(x-5)²+2
将点C的坐标代入
那么
3/2=a×4+2
a=-1/8
y=-1/8(x-5)²+2=-1/8x²+5/4x-9/8
令y=0
-1/8x²+5/4x-9/8=0
x²-10x+9=0
(x-1)(x-9)=0
x=1或x=9
所以点D的坐标为(9,0)
自变量x的取值范围5≤x≤9
(3)水平距离=|OD-PA|=|9-2|=7
未必符合,仅供学习参考,祝你学习进步!
有需要hi我
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解:1)由题意知,-b/2=1得b=-2,
设A(2-xo,0),B(xo,0) (xo>0),则xo-1=2,故xo=3,故c=(2-xo)*xo=-3,所以,y=x²-2x-3.
2)存在满足条件的点P。
由1)知,C(0,-3)M(1,-4)设P(m,n),由CM∥OM得,CM 的斜率=OM的斜率
所以-1=n/m,又n=m²-2m-3,解得m=(1+√13)/2或m=(1-√13)/2 (舍)故n=-(1+√13)/2
所以P[(1+√13)/2,-(1+√13)/2]
3)题有误。因A、B、E三点共线
设A(2-xo,0),B(xo,0) (xo>0),则xo-1=2,故xo=3,故c=(2-xo)*xo=-3,所以,y=x²-2x-3.
2)存在满足条件的点P。
由1)知,C(0,-3)M(1,-4)设P(m,n),由CM∥OM得,CM 的斜率=OM的斜率
所以-1=n/m,又n=m²-2m-3,解得m=(1+√13)/2或m=(1-√13)/2 (舍)故n=-(1+√13)/2
所以P[(1+√13)/2,-(1+√13)/2]
3)题有误。因A、B、E三点共线
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是抛物线吗,怎么3次的 ,少个加号吧
(1)b=-2,c=-3
(1)b=-2,c=-3
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