Question

如图,已知在正方形ABCD中,M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于点N.

（1）求∠EBN的度数。
（2）若将上述条件的“M是AB上的任意一点”，其余条件不变，则结论∠EBN的度数会发生变化吗？请说明理由.

Answer 1

取AD中点，记为F，连接FM，
则AF=DF=1/2AD=AM
故三角形AFM为等腰直角三角形
又有，角FMD=角AFM-角FDM=45°-角FDM
角MNB=角NBE-角NMB=45°-角NMB
角FDM=角NMB（在两个直角三角形里很容易得出）
所以，角FMD=角MNB
角FDM=角NMB
BM=（1/2AB=1/2AD=）DF
由角角边
可得三角形DFM和三角形MNB全等
则有DM=MN

Answer 2

：（1）过N作NF⊥AE于F，MN交BC于H，

∵HB∥NF，MN⊥DM，
∴△MBH∽△DAM，△MBH∽△MFN
∴BHMB=AMDA=12=NFMF，
∴2NF=MF，
又∵NF=BF，
∴MB=BF=12DA，
由以上可得△DAM≌△MFN
即可得DM=MN；

（2）解：结论“DM=MN”仍成立．
证明：
在AD上截取AF'=AM，连接F'M．
∵DF'=AD-AF'，MB=AB-AM，AD=AB，AF'=AM，
∴DF'=MB，
∵∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，
∴∠F'DM=∠BMN．
又∠DF'M=∠MBN=135°，
在△DF'M和△MBN中
∠F′DM=∠BMNDF′=BM∠DF′M=∠MBN​，
∴△DF'M≌△MBN．
∴DM=MN．

Answer 3

证明：（1）取AD的中点H，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，M为AB的中点，
∴BM=HD=AM=AH，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴∠DHM=135°，
而BN是∠CBE的平分线．
∴∠MBN=135°，
∴∠DHM=∠MBN，
又∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD=90°，
又∵∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，
∠HDM=∠BMNDH=MB∠DHM=∠MBN​，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN；

Answer 4

解：（1）过N作NF⊥AE于F，MN交BC于H，
∵HB∥NF，
∴△MBH∽△DAM，△MBH∽△MFN
∴BH MB =AM DA =1 2 =NF MF ，
∴2NF=MF，
又∵NF=BF，
∴MB=BF=1 2 DA，
由以上可得△DAM≌△MFN
即可得DM=MN；

（2）解：结论“DM=MN”仍成立．
证明：
在AD上截取AF'=AM，连接F'M．
∵DF'=AD-AF'，MB=AB-AM，AD=AB，AF'=AM，
∴DF'=MB，
∵∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，
∴∠F'DM=∠BMN．
又∠DF'M=∠MBN=135°，
在△DF'M和△MBN中
∠F′DM=∠BMN DF′=BM ∠DF′M=∠MBN ，
∴△DF'M≌△MBN．
∴DM=MN．

Answer 5

没图啊