Question

已知四边形ABCD中，∠B=∠D=90° ，AB=CD。 求证：四边形ABCD是矩形。

Answer 1

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO=1/2AC BO=DO=1/2BD（平行四边形对角线互相平分）
∵E、F分别是OB、OD的中点
∴OE=1/2OB OF=1/2OD
∴OE=OF=1/4BD
∵BD=2AC
∴OE=OF=1/2AC=AO=CO
∴四边形AECF平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
OE+OF=AO+CO
即AC=EF
∴四边形AECF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）

证明：连结AC
∵∠B=∠D=90°AB=CD AC共用
∴Rt△ABC≌RtCDA（HL）
∴∠BAC=∠DCA（全等三角形对应角相等）
∴AB‖CD（内错角相等，两直线平行）
∵AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∵∠B=∠D=90°
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

Answer 2

证明：连接AC，由于∠B=∠D=90° ，且AB=CD，则可推出BC=AD（勾股定理，两个三角形公用斜边AC），进而可得三角形ABC与ADC全等，则∠BAC=∠DCA，推出AB平行CD，∠D+∠DAC=180°，则∠DAC=90°，同理∠BCD=90°，综上，对边平行且相等，各内角均为90°，可证ABCD为矩形

Answer 3

证明：连接AC，由于∠B=∠D=90° ，且AB=CD，则可推出BC=AD（勾股定理，两个三角形公用斜边AC），进而可得三角形ABC与ADC全等，则∠BAC=∠DCA，推出AB平行CD，∠D+∠DAC=180°，则∠DAC=90°，同理∠BCD=90°，综上，对边平行且相等，各内角均为90°，可证ABCD为矩形