Question

高中数学：关于对数函数的最小值问题

对数函数y=log a X
(a是底数，X是真数)

请问为什么当该函数有最小值的时候，a＞1？
而当该函数有最大值的时候，0＜a＜1 ？

请问如何根据函数图像来作此判断？
请注意，我问的范畴是高中数学。所以，请从高中生能理解的方面来回答，谢谢！

Answer 1

解法一：上述对数函数图像与指数函数y=a^x图像关于x=y对称。函数y=a^x，当a>1时单调增加，且y=a^x>0，由图像可知y=a^x，存在最小值无最大值，当x越小y越小（y>0）,可知y=log a X（x>0）且单调增加x越接近0，y值越小。同理的0<a<1。.

解法二：由对数函数y=log a X图像可知，a>1时x>0且单调增加，x对应函数值y随x同增同减，x越接近0，y值越小，x无最大值，y无最大值，x最小值时y最小。同理得0<a<1。

Answer 2

对数函数的底数分两种情况：
1、a>1时，y=log a X在（0，+无穷大）为增函数
2、0<a<1时 y=log a X在（0，+无穷大）为减函数
就这么简单，只有x的最小c时a>1时，y=log a X在[c，+无穷大）最小值为y=log a c,后面的同理了

Answer 3

这是不可能的，无论哪种情况，都不会有最值！因为定义域（0，+8）内，对数函数y=log a X都是单调的。a＞1时，从负无穷单调递增，所以没有最小值；0＜a＜1时从正无穷单调递减，所以没有最大值。

Answer 4

答：当a＞1时，y=log a X在0到∞上是个增函数，并且在x=1时，y=0；
当0＜a＜1时，y=log a X在0到∞上是个减函数，并且在x=1时，y=0；
根据上面的性质画出图像来就很明显了。
y=log a X没有最大值和最小值，它的取值范围为【-∞，+∞】。

Answer 5

y=log a X
最基本要求是a＞0，a≠1
当a＞1时y=log a X是单调递增函数，所以只有最小值；
当0＜a＜1时y=log a X是单调递减函数，所以只有最大值；