Question

如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，垂足为点O，交AB于点E，交AC于点F，求证四边形AEDF

求证四边形AEDF为菱形，谢谢大家，初二数学，写出完整步骤

Answer 1

且设EF与AD交点为M∵AD是△ABC中∠BAC的平分线,EF垂直平分AD，∴到两边距离相等，又∵EF垂直平分AD，所以EM=FM，AM=MD，∴AEDF时菱形

或

因为EF垂直且平分AD，所以AF=FD AE=ED （垂直平分上的一点..到两端的距离相等）
设AD与EF的交点为O
因为AE=ED 所以角EAO=角EDO 又因为角FAO=EAO，所以FAO=EDO
因为EF平分AD，所以AO=DO
又因为角FAO=角EDO，角EOD=角FOA，AO=DO
所以三角形AFO全等于三角形DEO ，所以AF=ED
因为四边形对角线AD垂直于EF，AF=ED
所以四边形AEDF是菱形（对角线互相垂直且有一组对边相等的四边形是菱形）

Answer 2

因为AD是△ABC中∠BAC的平分线，则∠BAD=∠CAD，EF是AD的垂直平分线，则角AOE=角AOF=90°且OA=OD，所以直角三角形AOE全等于直角三角形AOF。得EO=OF，所以四边形AEDF的两对角线垂直且相互平分，即四边形AEDF为菱形

Answer 3

我觉得这么做不对
我的方法是：
∵EF垂直平分AD（已知）
∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA（线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等）
∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠EAD=∠FAD（角平分线的意义）
∴∠EAD=∠FDA，∠EDA=∠FAD（等量代换）
∴EA平行DF，ED平行AF（内错角相等。两直线平行）
∴四边形AEDF为平行四边形。（两组对边分别平行的四边形为平行四边形）
又∵EA=ED（已证）
∴四边形AEDF为菱形（一组邻边相等的平行四边形为菱形）