Question

用根值法判别下列级数的敛散性

1）∑（n/2n+1)^n
2）∑1/[ln(n+1)]^n

Answer 1

1)
∑(n/(2n+1))^n中
an=(n/(2n+1))^n
an^(1/n)=n/(2n+1)
lim an^(1/n)=1/2<1
故收敛

2)
∑1/[ln(n+1)]^n中
an=1/[ln(n+1)]^n
an^(1/n)=1/ln(n+1)
lim an^(1/n)=0<1
故收敛

Answer 2

Cauchy根值判别法不仅适用于正项级数
对于级数an从1到无穷累加
记r=|an|^(1/n)当n趋于无穷时的上极限
若r<1则级数绝对收敛
若r>1则级数发散
若r=1则不可判断级数敛散
由于用以判别的是某个上极限，
Cauchy判别法适用于任何级数
困难仅在于上极限的求得