Question

数学函数求解

已知函数f（x）=x^3-3x^2+1 g(x)=x+1/4x ,x>0 -x^2-6x-8 , x<=0 关于方程g(f(x))-a=0(a为正实数）的根的叙述有下列四个命题
①存在实数a,使得方程恰有3个个不同的实根
②存在实数a,使得方程恰有4个个不同的实根
③存在实数a,使得方程恰有5个个不同的实根
④存在实数a,使得方程恰有6个个不同的实根
其中真命题是 。

Answer 1

也不知道你这个题目是单选还是多选，我做了一下，当a=1时，有4个不同的实根其中f（x）=-3只有一个解，而f（x）=1/2有3个不同解。都能使g（f（x））-a=0 （其中a=1）成立。如果是单选的话建议你选“②存在实数a,使得方程恰有4个个不同的实根”。这只是我的估算，大概方法就是通过画出g（x）的图形在对f(x)分析讨论。希望能够帮到你。

追问

答案给的是有两个正确的 但老师讲的是2.3.4三个正确的

Answer 2

由f(x+2)=-f(x)得
f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-（-f(x)）=f(x)
f(x)是以4为周期的周期函数，
当0<=x<=1时f(x)=1/2x
由f(x)是奇函数所以当-1<=x<=0
0<=-x<=1
-f(x)=f(-x)=1/2(-x）
所以f(x)=1/2x，-1<=x<=0
所以f(x)=1/2x，[-1,1]
由f(x)是定义域在R上的奇函数f(-x)=-f(x)，及f(x+2)=-f(x)得
f(x+2)=f(-x)，可得f(x)是关于x=1对称，
所以f(x)=1-1/2x,[1,3]
根据周期函数性质，
因此x=4k-1,(k为整数),f(x)=-1/2，。