Question

线性代数，为什么AX＝0与A'AX＝0有相同的解？

线性代数中的问题

Answer 1

AX=0,和AtAX=0是同解方程组析如下：

当AX=0时，A^TAX=0，所以AX=0的解是A^TAX=0的解。当A^TAX=0时，等式两边同时乘以X^T，得X^TA^TAX=0，也就是（AX）^TAX=0。而（AX）^TAX=||AX||，称为AX的范数，它的取值大于等于0，当且仅当AX=0时，||AX||=0。

所以A^TAX=0时，AX=0，即A^TAX=0的解是AX=0的解。

同解线性代数方程的性质如下：

1、在实数域内，(x-1)(x2-2x+4)=0 与 (x-1)(x2-6x+11)=0 同解，但在复数域内，二者不同解。

2、根的重数，(x-1)²=0 与 x-1=0 不同解。

3、解集完全相同，其它条件也符合的方程是同解方程。

Answer 2

AX=0时，显然有A'AX＝0，所以前方程的解，必是后方程的解

而当A'AX = 0时，有 X'A'AX = (AX)'(AX)=0
注意，中间那个式子，可以看成内积，就是说是等于 |AX|² =0
即AX=0，所以后方程是前方程的解。

所以同解