14．设三角形ABC的面积为2，若A，B,C所对的边分别为a,b,c，则a2+2b2+3c2的最小值为________
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由秦九韶-海伦公式，-a^4+2a^2(b^2+c^2)-(b^4-2b^2c^2+c^4)=64,
微分得[-4a^3+4a(b^2+c^2）]da+(4a^2b-4b^3+4bc^2)db+(4a^2c+4b^2c-4c^3)dc=0,
∴da=[(a^2b-b^3+bc^2)db+(a^c+b^2c-c^3)dc]/[a^3-a(b^2+c^2)],①
设w=a^2+2b^2+3c^2,则
dw=2(ada+2bdb+3cdc),
把①代入上式，由∂w/∂b=∂w/∂c=0得
(a^2b-b^3+bc^2)+2b(a^2-b^2-c^2)=0,
(a^2c+b^2c-c^3)+3c(a^2-b^2-c^2)=0,
化简得3b^2+c^2=3a^2,
b^2+2c^2=2a^2,
解得b^2=4a^2/5,c^2=3a^2/5.
b=2a/√5，c=a√(3/5),
此时cosA=(4/5+3/5-1)/(4√3/5)=1/(2√3),
sinA=√11/(2√3),
∴(1/2)2√3a^2/5*√11/(2√3)=2,a^2=20/√11，
w=(1+8/5+9/5)a^2=72/√11≈21.7，为所求。
微分得[-4a^3+4a(b^2+c^2）]da+(4a^2b-4b^3+4bc^2)db+(4a^2c+4b^2c-4c^3)dc=0,
∴da=[(a^2b-b^3+bc^2)db+(a^c+b^2c-c^3)dc]/[a^3-a(b^2+c^2)],①
设w=a^2+2b^2+3c^2,则
dw=2(ada+2bdb+3cdc),
把①代入上式，由∂w/∂b=∂w/∂c=0得
(a^2b-b^3+bc^2)+2b(a^2-b^2-c^2)=0,
(a^2c+b^2c-c^3)+3c(a^2-b^2-c^2)=0,
化简得3b^2+c^2=3a^2,
b^2+2c^2=2a^2,
解得b^2=4a^2/5,c^2=3a^2/5.
b=2a/√5，c=a√(3/5),
此时cosA=(4/5+3/5-1)/(4√3/5)=1/(2√3),
sinA=√11/(2√3),
∴(1/2)2√3a^2/5*√11/(2√3)=2,a^2=20/√11，
w=(1+8/5+9/5)a^2=72/√11≈21.7，为所求。
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