Question

如图,E为正方形ABCD中BC边的中点,AE平分∠BAF,求证:AF=BC+FC

Answer 1

你要会用向量,这很简单.
可以设A在坐标原点,AB沿X轴,AD沿Y轴
设正方形边长为1,
可以写出A B C D E五点的坐标.
向量AB和向量AE成的角等于向量AE和向量AF成的角,然后算出向量AF
然后可以写出AF这条直线的表达式,和直线CD的交点,很容易就算出的
这样,就显而易见了

Answer 2

延长FC交AE延长线于G点，
因为CE=BE,所以△BEA≌△CEG，则∠CGE=∠BAE,CG=AB,
又因AB=BC,所以CG= BC.

因为AE平分∠BAF,所以∠EAF=∠BAE,
∴∠EAF=∠CGE，△FAG是等腰三角形，
所以AF=FG,
而FG=FC+CG=FC+BC,
∴AF= FC+BC.

Answer 3

证明：延长AE，交DC的延长线于点M，

因为点E为正方形ABCD中BC边的中点，

所以BE=CE，

又因为DM//AB，

所以角M=角BAE，角MCE=角B，

所以三角形ABE全等于三角形MCE，

所以CM=BA，

又因为AE平分∠BAF,

所以角FAM=角BAE,

所以角FAM=角M，

所以AF=FM,

又FM=FC+CM=FC+BA=FC+BC,

所以AF=BC+FC

Answer 4

证明：AF=BC+FC延长AE，交DC的延长线于点M，因为点E为正方形ABCD中BC边的中点，（已知）所以BE=CE，（中点的意义）又因为DM//AB，（已知）所以角M=角BAE，角MCE=角B，（两直线平行，内错角相等）在三角形ABE与三角形MCE中，角M=角BAE（已证）角MCE=角B（已证）BE=CE（已证）所以三角形ABE全等于三角形MCE，（A.A.S.）所以CM=BA，（全等三角形对应边相等）又因为AE平分∠BAF,（已知）所以角FAM=角BAE,（角平分线的意义）所以角FAM=角M，（等量代换）所以AF=FM,（等角对等边）又FM=FC+CM=FC+BA=FC+BC,（已知）所以AF=BC+FC（等量代换） 图片：

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