Question

既然二次型的矩阵一定是对称矩阵，那么对称矩阵一定是二次型矩阵吗？

Answer 1

二次型的矩阵一定为实对称矩阵。
1、二次型的矩阵一定可以用实对称矩阵来表示，因为x'Ax=x'[(A+A')/2]x，(A+A')/2肯定是对称的。实对称矩阵具有良好的性质，所以都用对称矩阵来研究二次型。
2、当二次型的系数在实数域上时，对应的二次型矩阵是实对称矩阵，实对称矩阵都可以通过可逆线性变换化为标准型，主要的方法有配方法和初等变换法。
3、如果A是一个未必对称的方阵，令B=(A+A^T)/2，那么B对称并且二次型x^TAx=x^TBx，也就是说即使A不对称，一定存在一个等效的对称矩阵来表示这个二次型，所以为了研究方便就选择或者理解成规定用对称阵来表示二次型。
4、二次型是线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。
5、如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身(A^T = A) ，则称A为实对称矩阵。如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，且aij=aji i,j=1,2,...,n（即A^T = A这里T表示转置），则称A为实对称矩阵。
6、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的；A的特征值都是实数，特征向量都是实向量；n阶实对称矩阵A必可对角化且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值；若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

Answer 2

当二次型的系数在实数域上时，对应的二次型矩阵是实对称矩阵，实对称矩阵都可以通过可逆线性变换化为标准型，主要的方法有配方法和初等变换法。很多教材上都有详细的解释，自己多看看、多算算会更清楚。

Answer 3

是的，任意一个n阶对称矩阵A都可以对应一个二次型X'Ax，X是n维列向量。展开就是a11x1^2＋2a12x1x2＋2a13x1x3＋....＋annxn^2