Question

高等数学，函数极限

极限存在定理，两个重要极限
求解题过程

Answer 1

😁

追答

sin√(n+1)-sin√n
=2cos[√(n+1)+√n]/2*sin[√(n+1)-√n]/2
|cos[√(n+1)+√n]/2|≤1(n→∞),有界,
sin[√(n+1)-√n]/2
=sin{1/[2(√(n+1)+√n)]}=0(n→∞),
∴sin√(n+1)-sin√n=0(n→∞)
∴sin√n-sin√（n+1）=0(n→∞)
详利用和差化积公式.
正弦、余弦的和差化积
sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
lim [sin(√(n+1)-sin(√n)]=lim 2cos{[(√(n+1)+(√n)]/2}*sin{[(√(n+1)-(√n)]/2}
x->∞ x->∞ 
=lim 2cos{[(√(n+1)+(√n)]/2}*sin{(1/2)/[(√(n+1)+(√n)]}
x->∞ 
=lim 2cos{[(√(n+1)+(√n)]/2}*{(1/2)/[(√(n+1)+(√n)]} （等价无穷小代换）
因为x->∞ 时(1/2)/[(√(n+1)+(√n)]->0,而|cos{[(√(n+1)+(√n)]/2}|≤1,故一个有界的数乘以一个趋于零的数其结果为0.
于是原式极限=0
∴sin√(n+1)-sin√n=0(n→∞)
∴sin√n-sin√（n+1）=0(n→∞)

Answer 2

归纳法得xn≥1，n≥1时，｛xn｝有下界 X(n+1)－Xn＝1/2×(1+Xn)(1-Xn)/Xn≤0，所以｛Xn}单调减少 所以｛Xn}有极限，设极限是a 在Xn+1＝1／2（Xn+ 1／Xn）两边取极限，a＝1/2(a+1/a)，得a＝1（由极限的保号性，a＝－1舍去）