Question

一道导数题第一问

Answer 1

f(x)=e^(ax)-1+ln(x+1);

①. 要求不等式 f'(x)=ae^(ax)+[1/(x+1)]=[a(x+1)e^(ax)+1]/(x+1)≧0在x∈(-1，+∞)时恒成
立。当x在此范围内时，恒有x+1>0，因此只需 a(x+1)e^(ax)+1>0..............①，即只需
a(x+1)e^(ax)>-1.........②；当-1<x<0，且a>0时，e^(ax)>1，x+1>1，故在a>0的条件下，
不等式②恒成立；当a<0时，在区间(-1，0]内，a(x+1)和e^(ax)都是减函数，当x=0时获得其
最小值a；于是可知：要使①恒成立，必须a>-1；也就是当a∈(-1，+∞)时，f(x)在区间
(-1，+∞)内是增函数。
②。由①的分析可知：当0<a≦1且x>0时，f(x)是增函数。设φ(x)=2ax；∵f(0)=φ(0)=0;
即函数f(x)与函数φ(x)在区间[0，+∞)的左端点x=0处的值相等；
f'(x)=ae^(ax)+[1/(x+1)]>a+1；而φ'(x)=2a；在0<a<1时，a<a+a<1+a，即恒有
a+1>2a；只有a=1时才有a+1=2a=2；故当0<a≦1且x>0时f'(x)>φ'(x)；∴在0<a≦1且x>0时
不等式f(x)>φ(x)=2ax成立。
【两函数f(x)与φ(x)在同一区间[a，b]的左端点的值相等，即f(a)=φ(a)；而当x>a时有
f'(x)>φ'(x)，即f(x)的增长率>φ(x)的增长率，故在区间(a，b]内必有f(x)>φ(x);这是一条定理】