Question

高等数学问题，求解，谢谢解答

请问答案中红线划出的式子为什么

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Answer 1

85.求两椭圆所围成的曲四边形的面积S.
x^2/a^2+y^2/b^2=1,①
x^2/b^2+y^2/a^2=1.②
①*b^2-②*a^2,得(b^2/a^2-a^2/b^2)x^2=b^2-a^2,
所以x^2=a^2b^2/(a^2+b^2),
代入①，得y^2=a^2b^2/(a^2+b^2).
由对称性，S=8∫<0,ab/√(a^2+b^2)>[b√(1-x^2/a^2)-x]dx,
设x=asinu,则dx=acosudu,
S=8∫<0,arcsin[b/√(a^2+b^2)]>(bcosu-asinu)acosudu
=4a∫<0,arcsin[b/√(a^2+b^2)]>[b(1+cos2u)-asin2u]du
=4a[bu+(b/2)sin2u+(a/2)cos2u]|<0,arcsin[b/√(a^2+b^2)]>
=4abarcsin[b/√(a^2+b^2)+2absin2{arcsin[b/√(a^2+b^2)]}+2a^2(cos2{arcsin[b/√(a^2+b^2)]}-1)
=4abarcsin[b/√(a^2+b^2)+4a^2b^2/(a^2+b^2)-4a^2b^2/(a^2+b^2)
=4abarcsin[b/√(a^2+b^2),为所求。

Answer 2

设a>b>0；把椭圆方程化为极坐标形式：x=rcosθ，y=rsinθ；

对椭圆  x²/b²+y²/a²=1，r₁²cos²θ/b²+r₁²sin²θ/a²=1，即 r₁²[(a²cos²θ+b²sin²θ)/(a²b²)]=1

故 r₁²=(a²b²)/(a²cos²θ+b²sin²θ)；

对椭圆  x²/a²+y²/b²=1，r₂²cos²θ/a²+r₂²sin²θ/b²=1，即 r₂²[(b²cos²θ+a²sin²θ)/(a²b²)]=1

故 r₂²=(a²b²)/(b²cos²θ+a²sin²θ)；

令(a²b²)/(a²cos²θ+b²sin²θ)=(a²b²)/(b²cos²θ+a²sin²θ)；

化简得：a²cos²θ+b²sin²θ=b²cos²θ+a²sin²θ;

(a²-b²)cos²θ=(a²-b²)sin²θ，故得cosθ=sinθ；∴tanθ=1,  θ=π/4;  r²=(√2)a²b²/(a²+b²);

∴两椭圆在第一象限内的交点M的坐标为(r, θ/4); 其中r=ab√[√2)/√(a²+b²)];

∴两椭圆所围公共部分的面积A₁:

上式中第一个积分(乘1/2)是下图中的红色部分；第二个积分(乘1/2)是下图中的蓝色部分。