Question

高中数学：关于求函数值域的问题

利用函数的有界性，请问如何求下面这个函数的值域？

y=（2 sinα －1）/（1 + cosα）

请写出详细的思路和过程，并在最后附上答案。谢谢！

Answer 1

既然是有界性，那就必须用三角函数的有界性了，就是绝对值不大于1
有原式得y+1=2sina -ycosa 且cosa 不等于-1；
有有界性 于是有(y+1 )^2 <=y^2+4;
解得y<=1.5 希望满意！

Answer 2

由函数去分母移项整理得
asinα+bcosα=c的形式
给asinα+bcosα提出√(a^2+b^2),
得asinα+bcosα=√(a^2+b^2){[a/√(a^2+b^2)]sinα+[b/√(a^2+b^2)]cosα}
设辅助角φ,(cosφ=a/√(a^2+b^2),sinφ=b/√(a^2+b^2)或sinφ=a/√(a^2+b^2),cosφ=b/√(a^2+b^2))，逆用三角函数的正弦或余弦的和差角公式，把它变形为Asin(ωt+φ) (或Acos(ωt-φ))的形式(A=√(a^2+b^2)),
则Asin(ωt+φ) =c,|c|≤A,A,c 是用y表示的，解不等式求出y的范围
过程：
由y=（2 sinα －1）/（1 + cosα）去分母移项整理得
y（1 + cosα）=2 sinα －1，
2sinα-ycosα=y+1,
对2sinα-ycosα提出√(2^2+y^2)=√(4+y^2),得2sinα-ycosα=[√(4+y^2)]{[2/√(4+y^2)]sinα-[y/√(4+y^2)]cosα},
设cosφ=2/√(4+y^2),sinφ=y/√(4+y^2),则[√(4+y^2)](cosφsinα-sinφcosα)=y+1,
即[√(4+y^2)]sin(α-φ)=y+1,
|y+1|≤√(4+y^2),
两边平方得，(y+1)^2≤4+y^2,2y+1≤4,y≤3/2,
y=（2 sinα －1）/（1 + cosα）的值域为(-∞,3/2]

Answer 3

既然是有界性，那就必须用三角函数的有界性了---绝对值不大于1
由原式可得y =2sina -ycosa-1且cosa 不等于-1；
因为有界性 所以有(y+1 )^2 <=y^2+4;
解得y小于或等于1.5