Question

求微分方程y"-y=e^x的通解

Answer 1

求微分方程y"-y=e^x的通解
解：齐次方程 y''-y=0的特征方程 r²-1=0 的根：r₁=-1；r₂=1；
故齐次方程的通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^x;
设其特解为：y*=axe^x；则y*'=ae^x+axe^x=(ax+a)e^x;
y*''=ae^x+(ax+a)e^x=(ax+2a)e^x；
代入原式并消去e^x得：(ax+2a)-(ax)=2a=1，故a=1/2，
故特解y*=(1/2)xe^x;
于是通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^x+(1/2)xe^x;