Question

李聪在解分式方程1/x-2 - 1/x-4 =1/x-3 - 1/x-5 后

李聪在解分式方程1/x-2 - 1/x-4 =1/x-3 - 1/x-5 后，得到x=7/2
他又解方程1/x-7 - 1/x-5 =1/x-6 - 1/x-4,发现解为x=11/2.
他马上猜想到了方程1/x-7 + 1/x-1 = 1/x-6 + 1/x-2的解
（1）请仔细观察上述方程的特征，尤其注意方程1/x-7 + 1/x-1 = 1/x-6 + 1/x-2与前两个方程的关系，猜想他的解是什么？并用“方程的解”的概念进 行验证。
（2）由上述观察，比较，猜想，验证，可以得到什么结论，试用式子或语言表示出来？

Answer 1

(1)第一个方程可以化简成1/x-2 + 1/x-5 =1/x-3 + 1/x-4,等式两边分母后面的数相加为7,为x=7/2的分子
第二个方程可以化简成1/x-7 + 1/x-4 =1/x-6 + 1/x-5,等式两边分母后面的数相加为11,为x=11/2的分子
所以方程1/x-7 + 1/x-1 = 1/x-6 + 1/x-2,等式两边分母后面的数相加都为8,可以猜想x的解为x=8/2=4
验证:解方程.1/x-7 + 1/x-1 = 1/x-6 + 1/x-2两边分别合并,得到
2x-8/(x-7)(x-1) = 2x-8 / (x-6)(x-2),
分母相同,分子相同,分母不同,当2x=8时,分子为0,等式成立
当分子不为0时候,那等式可化简成分母相等,就是(x-7)(x-1)=(x-6)(x-2)
得到7=12,这明显是错误的,所以分母不可能相等,所以只能是分子相等
所以x=8/2=4
(2)得到的结论是1/x-a + 1/x-b=1/x-c + 1/x-d,(a+b=c+d),
那得到方程的解答为x=a+b /2 =c+d / 2
我也在做的说！！！~

Answer 2

1) 1/x-7 + 1/x-1 = 1/x-6 + 1/x-2
1/x-1 -1/x-6 = 1/x-2 - 1/x-7，x=8/2=4
(-5)/(x-1)(x-6)=(-5)/(x-2)(x-7)
(x-1)(x-6)=(x-2)(x-7)
x^2-7x+6=x^2-9x+14
2x=8
x=4
2)1/(x-a)-1/(x-b)=1/x-c)-1/(x-d),(a+b=c+d,a-b=c-d)
x=1/2(b+c)

Answer 3

(1)=(6+2)/2=(7+1)/2=4
(2) 如果a+b=c+d, 则方程1/(x+a)+(1/(x+b)=1/(x+c)+1/(x+d)的解为
x=-(a+b)/2
1/(x+a)+(1/(x+b)=1/(x+c)+1/(x+d)
=>(2x+a+b)/[(x+a)(x+b)]=(2x+c+d)/[(x+c)(x+d)]
a+b=c+d=>
x=-(a+b)/2
上式两边等于0，等号成立。

Answer 4

（1）x=8/2=4，验证略
（2）对形如 1/(x-a)+1/(x-b)=1/(x-c)+1/(x-d)的方程（x为未知数），当a+b=c+d时，方程的解为
x=(a+b)/2 [或 x=(c+d)/2]

Answer 5

（1）猜想他的解是（1+7+6+2）÷2/1＝8
（2）方程1/(x-a) - 1/[x-(a-n)] = 1/(x-b) + 1/[x-(b-n)]
的解是X＝（a+a-n+b+b-n)/n=(2a+2b-2n)/n

Answer 6

（1）猜想他的解是:（1+7+6+2）÷2/1X＝8
（2）方程的解:1/(x-a) - 1/[x-(a-n)] = 1/(x-b) + 1/[x-(b-n)]
X＝（a+a-n+b+b-n)/n=(2a+2b-2n)/n 呵呵，不知对不对啊！