Question

高中数学题 要详细过程的

抛物线y²=6x上两动点A（x1, y1）,B（x2,y2）,x1≠x2，AB垂直平方线交 X轴于C,
求三角形ABC最大面积
x1+x2=4

Answer 1

设中点M（2，b）则y1+y2=2b
则AB解析式：y=k（x-2）+b
联立方程得ky^2/6-y+b-2k=0
由韦达定理得y1+y2=6/k=2b得b=3/k
y1y2=（b-2k）/(k/6)=18/k^2-12
中垂线y=-1/k(x-2)+b
令y=0得x=5即C坐标为（5,0）
AB=√{（1+1/k^2)[(y1+y2)^2-4y1y2]}=2√[(12-9/k^2)(1+1/k^2)]
CM=√(3^2+9/k^2)=3√(1+1/k^2)
面积S=AB*CM/2=3[√(12-9/k^2)]*(1+1/k^2)
此时令t=1/k^2则t>0;
且12-9t>0则t<4/3
S=3√[(1+t)^2(12-9t)]=9√[(1+t)^2(8/3-2t)]/√2<=9√[(1+t+1+t+8/3-2t)/3]^3/√2=(14√7)/3 （当且仅当1+t=8/3-2t即t=5/9时等号成立）

Answer 2

没有最大值。

Answer 3

此题如果对点A，B的相对位置（如AB为焦点弦）不加要求的话，三角形ABC的面积不存在最大值。

Answer 4

题目应为“AB垂直平分线”
有解，存在最大值，用编程的方法解方便，用普通的方法计算，很烦。
解题的思路是：
1。写出AB的中点坐标，（x1+x2)/2,(y1+y2)/2
2。AB垂直平分线过此点与AB直线垂直，设AB的斜率为k1，则此线的斜率为k2=-1/k1，由此可得垂直平分线的方程。
3。计算垂直平分线与x轴是交点C，C点的y轴坐标为0。
4。由三点可得三点间距离，即三角形的三边长，由三边长可得三角形面积方程。
5。对此方程求导，可得极值。