Question

如图，求极限。

希望某些步骤稍加解释。比如使用等价无穷小的地方。

Answer 1

不知道我写的对不对，仅供参考。

Answer 2

x->0

√(1+x^2) = 1 +(1/2)x^2 +o(x^2)

(cosx)^2.√(1+x^2) = 1 +(1/2)x^2 +o(x^2)

(cosx)^2.√(1+x^2) -1 = (1/2)x^2 +o(x^2)

lim(x->0) [√(1+x^2).(sinx)^2 - (tanx)^2 ]/[ x^2. ln(1+x^2)]

分子分母同时除以 (sinx)^2

=lim(x->0) [√(1+x^2) - (secx)^2 ]/[ (x/sinx)^2. ln(1+x^2)]

=lim(x->0) [√(1+x^2) - (secx)^2 ]/ ln(1+x^2)

=lim(x->0) [(cosx)^2. √(1+x^2) - 1 ]/ [(cosx)^2. ln(1+x^2)]

=lim(x->0) [(cosx)^2. √(1+x^2) - 1 ]/ ln(1+x^2)

=lim(x->0) (1/2)x^2 / x^2

=1/2

追问

关于最开头小欧的概念和用法并不是很懂

追答

不好意思，有点错

x->0

√(1+x^2) = 1 +(1/2)x^2 +o(x^2)

cosx = 1 -(1/2)x^2 +o(x^2)

(cosx)^2 

=[1 -(1/2)x^2+o(x^2)]^2

=1 - x^2 +o(x^2)

(cosx)^2.√(1+x^2) 

=[1-x^2+o(x^2) ].[ 1 +(1/2)x^2 +o(x^2)]

= 1 -(1/2)x^2 +o(x^2)

(cosx)^2.√(1+x^2)  -1 = -(1/2)x^2

或

lim(x->0) [√(1+x^2).(sinx)^2 - (tanx)^2 ]/[ x^2. ln(1+x^2)]

=lim(x->0) [(cosx)^2. √(1+x^2) - 1 ]/ ln(1+x^2)

=lim(x->0) [(cosx)^2. √(1+x^2) - 1 ]/ x^2                    

(0/0 分子分母分别求导）

=lim(x->0) [(cosx)^2. x/√(1+x^2)   -2sinx. cosx .√(1+x^2) ] / （2x）                    

=lim(x->0) [(cosx)^2/√(1+x^2)   -2cosx.√(1+x^2) ] /2

= -1/2