如何用函数的凹凸性证明ab^1/2<=(a+b)/2？
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首先说明这里的a,b应为正数，下面给出利用函数凹凸性的证法：
证：①当a=b时显然等号成立；
②当a≠b时，由(lnx)'=1/x得
(lnx)"=-1/x²<0，
由此可知lnx在(0,+∞)是凸的，
所以有
(lna+lnb)/2＜ln[(a+b)/2]，
即 ln[(ab)^(1/2)]＜ln[(a+b)/2]，
再由lnx的单调递增性得
(ab)^(1/2)＜(a+b)/2；
综合①②便得
(ab)^(1/2)≤(a+b)/2 .
证：①当a=b时显然等号成立；
②当a≠b时，由(lnx)'=1/x得
(lnx)"=-1/x²<0，
由此可知lnx在(0,+∞)是凸的，
所以有
(lna+lnb)/2＜ln[(a+b)/2]，
即 ln[(ab)^(1/2)]＜ln[(a+b)/2]，
再由lnx的单调递增性得
(ab)^(1/2)＜(a+b)/2；
综合①②便得
(ab)^(1/2)≤(a+b)/2 .
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