Question

一道高数题？

f(x)在[0,1]内可导，0<f(x)<1，且在(0,1)内f(x)的导数不等于1，证明在(0,1)内，存在唯一一个f(x0)=x0

Answer 1

证明存在性：介值定理

证明唯一性：反证法

详见下图，希望对你有帮助

Answer 2

这个很简单
令分子等于 t，则 t 趋于0
例如，2^x-1=t，可得 x=ln（t+1）/ln2
那么原极限就是
lim（t->0）[t*ln2]/ln（t+1）
=lim（t->0）ln2/ln（t+1）^1/t
利用 lim（t->0）（t+1）^1/t = e
即可得到 lim（t->0）ln2/ln（t+1）^1/t = ln2
同理可得 ln3

Answer 3

一般都是构造函数，这道题应该是f（x）-x,然后你在考虑那几个常用的定理