Question

定积分的几何应用求摆线绕y轴旋转的体积，积分上下限怎么找的？

Answer 1

将摆线OBA分成OB段和BA段两段；

用BA段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，减掉 OA段绕y轴旋转得到的旋转体的体积。

O点对应的参数t=0，B点对应的参数t=π，A点对应的参数t=2π。

BA段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，从A点的y=0到B点的y=2a，相当于参数t=2π到参数t=π。

OB段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，从O点的y=0到B点的y=2a，相当于参数t=0到参数t=π。

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

将摆线OBA分成OB段和BA段两段；
用BA段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，减掉 OA段绕y轴旋转得到的旋转体的体积。
============（这一步能看懂吗？）
O点对应的参数t=0，B点对应的参数t=π，A点对应的参数t=2π
============（这一步能看懂吗？）
BA段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，从A点的y=0到B点的y=2a，相当于参数t=2π到参数t=π
============（这一步能看懂吗？）
OB段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，从O点的y=0到B点的y=2a，相当于参数t=0到参数t=π
============（这一步能看懂吗？）

追答

追问

嗯嗯谢谢，但是还有一点疑问就是，为什么是这两部分相减？按理说在y轴上这两部分的取值范围不都是y从0—2a吗？

也就是您说的第一步我有些不太理解

追答

比如，换成一个圆，(x-1)²+y²=1，绕y轴旋转一周，用右边半圆（x从1到2的那一部分）绕y轴旋转一周的回转体体积，减掉左半圆（从x=0到x=1的那一部分）绕y轴旋转一周的回转体的体积，这个道理能不能懂？
这两部分，虽然都是y从0到1，但所代表的曲线不同。对照本题的摆线，虽然y都是从0到2a,但对应的曲线以及参数t也不同。道理是一样的。

追问

嗯嗯 谢谢！

Answer 3

这是旋转的，旋转360度，也就是2pai（圆周率），从零度开始旋转，然后把直角坐标系换成极坐标系（应该能明白吧）

追答

听不明白再问我，我说的不清楚

追问

不好意思，我确实不太明白,,Ծ^Ծ,,

为什么一个是2兀—兀，一个是0—兀呀？

追答

抱歉，我那时候没有认真看，发给你，字丑谅解

追问

嗯嗯谢谢，但是还有一点疑问就是，为什么是这两部分相减？按理说在y轴上这两部分的取值范围不都是y从0—2a吗？

追答

你的话我没有完全明白，应该是一个大的cboa减去一个小的bco，求的体积是蓝色部分

追问

嗯嗯 谢谢！