Question

高中数学题 导数

求此题 第一问 详细过程 谢谢

Answer 1

解答

(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，

f′(x)=ax−2x+(2a−1)=−(2x+1)(x−a)x，

若a⩽0,则f′(x)<0,此时f(x)在(0,+∞)递减，不符合题意。

若a>0,则由f′(x)=0，解得：x=a，

当0<x<a时,f′(x)<0，

当x>a时,f′(x)>0，

此时f(x)在(0,a)递增,在(a,+∞)递减；

要使函数f(x)=alnx−x2+(2a−1)x(a∈R)有两个不同的零点。只需f(a)=alna+a2−a>0即可。

令h(a)=alna+a2−a(a>0)，

h′(a)=lna+2a,.易知h′(a)=lna+2a在(0,+∞)递增。

且h′(1)>0,∴存在x0∈(0,1)使h′(x0)=0，

∴a∈(0,x0)时,h(a)递减,a∈(x0,+∞)h(a)递增，

∴h(a)=alna+a2−a(a>0)，得草图如下：

∴a的取值范围为[1,+∞).

(2)令g(x)=f(x)−f(2a−x),x∈(0,a)

则g(x)=alnx−x2+(2a−1)x−aln(2a−x)−(2a−1)(2a−x)+(2a−x)2，

g′(x)=2(x−a)2x(2a−x)>0，

当0<x<a时,g′(x)<0,g(x)在(0,a)递增，

而g(a)=0,故g(x)<g(a)=0，

故0<x<a时,f(x)<f(2a−x)；

不妨设0<x1<x2,则0<x1<a<x2，

∴0a，

得：f(x1)=f(x2)<f(2a−x1)，

∵f(x)在(a,+∞)递减，

∴x2>2a−x1,即：x1+x2>2a.

Answer 2

如图所示。

追问

Answer 3

a＞＝1或a等于0

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