Question

两个完全一样的长方体，它的上面、前面和左面面积分别为10平方厘米，16平方厘米和8平方厘米。

两个完全一样的长方体，它的上面、前面和左面面积分别为10平方厘米、16平方厘米和8平方厘米。把这两个长方体合成一个大长方体，这个大长方体的表面积最大是多少？最小是多少？

Answer 1

最大120平方厘米，最小104平方厘米。
如果单独计算，每个长方体的面积是（10+16+8）X2=68平方厘米，两个共136平方厘米。
如果合在一起，当两个最大的一面合一起时，剩下的面积最小，即136-（16X2）=104平方厘米；当最小的一面合一起时，剩下的面积最大，即136-（8X2）=120平方厘米。

Answer 2

表面积最大是:
（10+16）×2×2+8×2=120（平方厘米）
表面积最小是:
（10+8）×2×2+16×2=104（平方厘米）

Answer 3

120cm² 104cm²

Answer 4

设一个原长方体的长,宽,高及体积分别为a,b,c及V，则
V²＝a²b²c²＝10×16×8＝10·2⁷(cm⁶)，
再设合成的大长方体的长,宽分别为x,y，则其高为2V/(xy)，从而其表面积(设为S)为
S＝2(xy+2V/x+2V/y)
≥6(xy·2V/x·2V/y)¹⸍³
＝6(4V²)¹⸍³
＝6(10·2⁹)¹⸍³＝48·10¹⸍³(cm²)，
当且仅当xy=2V/x=2V/y，即
x=y=(2V)¹⸍³=[2√(10·2⁷)]¹⸍³=2·80¹⸍⁶(cm)，亦即长宽高均为(2V)¹⸍³=2·80¹⸍⁶cm时等号成立；
另一方面，易见当x趋近0(cm)或y趋近0(cm)时均有S＝2(xy+2V/x+2V/y)趋向∞；
所以合成的大长方体的表面积可以无限大，而当其为正方体时表面积取到最小值
48·10¹⸍³cm².

追答

对题意的另一种理解，解答为：
当对接面面积最小时，合成的大长方体的表面积取最大值4(10+16+8)-2·8=120(cm²)；
当对接面面积最大时，合成的大长方体的表面积取最小值4(10+16+8)-2·16=104(cm²).