求解一道高中数学导数题

已知函数f(x)=0.5x^2+alnx(a是实数),若存在x>0使f(x)小于等于0成立,求a的取值范围。希望有简要解题过程谢谢~... 已知函数f(x)=0.5x^2+alnx(a是实数),若存在x>0使f(x)小于等于0成立,求a的取值范围。
希望有简要解题过程谢谢~
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dennis_zyp
2011-05-19 · TA获得超过11.5万个赞
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f'(x)=x+a/x, x>0
f"(x)=1-a/x^2
当a>0.f'>0,f(1)=0.5>0, f(0+)=aln0+<0,因此存在x使f(x)小于等于0
当a<0, f">0, 令f'=0, x^2=-a, x=√(-a)为极小值点
f(√-a)=-0.5a+0.5aln(-a)=-0.5a[1-ln(-a)]为极小值点,要使f(x)有小于等于0的点,该极小值点须不大于0,所以有:
1-ln(-a)<=0, a<=-e
因此综合得a的范围:a>0 或a<=-e
追问
f(0+)=aln0+<0

请问这一步是为什么?
追答
因为a>0, ln(0+)<0
因此两者的积小于0
百度网友be43c89
2011-05-19 · TA获得超过4518个赞
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求导,=x+a/x
若a>0,则x取正数时导数>0,单调递增
而x趋近于0时显然f(x)<0 , 符合要求
若a=0,显然不成立
若a<0,令导数=0,x=正负根-a
x>0时的最小值在根-a处取
代入,-a/2+aln(-a)/2<=0
-e<=a<0 (再加上a>0)
你再检验一遍,反正大体思路是这样的
追问
而x趋近于0时显然f(x)<0 , 符合要求

为什么显然?
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m_pig1
2011-05-19 · TA获得超过1741个赞
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第一步先求函数的定义域:x>0
第二步求导函数:f'(x) = x+a/x =(x^2+a)/x
第三步分情况讨论:a<0 与 a>=0
1)若a<0 ,则 x = 根号(-a) 处有最小值 (导数先负后正),当x越大,f(x)趋向正无穷
2)若a>=0,则f'(x)恒为正,所以当x越大,f(x)也趋向于正无穷
因此不存在这样的a 使题目条件成立 a的取值范围是一空集
如果原题是“使f(x)大于等于0成立” 那么
前两步类似
1)若a<0,则f(x)>=(-a)+aln[(-a)^1/2]=(-a)+a/2 ln(-a)
若使f(x)>=0成立,则0>=(-a)+a/2 ln(-a) -> a>=a/2 * ln(-a) -> 2<=ln(-a) -> e^2<=-a ->a<-e^2
2)要使f(x)>0恒成立 不可能因为x趋向于0时 lnx趋向于负无穷 f(x)也趋向于负无穷 所以a无解
所以a的取值范围是a<-e^2
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幸菜礼神意散志0I
高粉答主

2011-05-19 · 说的都是干货,快来关注
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f'=x+a/x
在x>0使f(x)小于等于0成立
f'<0
x+a/x<0
a<-x^2
a<0
追问
a>0时为什么不行?
追答
a>0,f'就不能<0,使f(x)小于等于0成立了

明白了?
请采纳
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清风起明月照
2011-05-19 · TA获得超过1590个赞
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可以用图形解释
画出y=0.5x^2和y=lnx的图形
a=0显然不符合
a>0满足条件
a<0时,且x>1才有可能满足条件,这时求导
f(x)‘=x+a/x 令f(x)‘=0得x=√(-a) x>1 得a<-1 只需要满足f(√(-a) )《0
解得a《-e
综上述a>0或a《-e
数形结合解题是有效的
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taixigou购物与科学
2011-05-19 · 在这里交流科学与数学,关注生活
taixigou购物与科学
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显然a不等于0,且a>0时是满足要求的
当a<0时,对f求导得
f'=x+a/x,令f'=0 得x=根下(-a),把它代入f,并令其小于等于0,得a<=--e^(1/2)
所以a>0或a<=--e^(1/2)
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