Question

求解一道高中数学导数题

已知函数f(x)=0.5x^2+alnx(a是实数),若存在x>0使f(x)小于等于0成立，求a的取值范围。
希望有简要解题过程谢谢~

Answer 1

f'(x)=x+a/x, x>0
f"(x)=1-a/x^2
当a>0.f'>0,f(1)=0.5>0, f(0+)=aln0+<0,因此存在x使f(x)小于等于0
当a<0, f">0, 令f'=0, x^2=-a, x=√(-a)为极小值点
f(√-a)=-0.5a+0.5aln(-a)=-0.5a[1-ln(-a)]为极小值点，要使f(x)有小于等于0的点，该极小值点须不大于0，所以有：
1-ln(-a)<=0, a<=-e
因此综合得a的范围：a>0 或a<=-e

追问

f(0+)=aln0+<0

请问这一步是为什么？

追答

因为a>0, ln(0+)<0
因此两者的积小于0

Answer 2

求导，=x+a/x
若a>0,则x取正数时导数>0,单调递增
而x趋近于0时显然f（x）<0 , 符合要求
若a=0，显然不成立
若a<0,令导数=0，x=正负根-a
x>0时的最小值在根-a处取
代入，-a/2+aln(-a)/2<=0
-e<=a<0 (再加上a>0)
你再检验一遍，反正大体思路是这样的

追问

而x趋近于0时显然f（x）<0 , 符合要求

为什么显然？

Answer 3

第一步先求函数的定义域：x>0
第二步求导函数：f'(x) = x+a/x =(x^2+a)/x
第三步分情况讨论：a<0 与 a>=0
1）若a<0 ，则 x = 根号(-a) 处有最小值 （导数先负后正），当x越大，f(x)趋向正无穷
2）若a>=0，则f'(x)恒为正，所以当x越大，f(x)也趋向于正无穷
因此不存在这样的a 使题目条件成立 a的取值范围是一空集
如果原题是“使f(x)大于等于0成立” 那么
前两步类似
1）若a<0，则f(x)>=(-a)+aln[(-a)^1/2]=(-a)+a/2 ln(-a)
若使f(x)>=0成立，则0>=(-a)+a/2 ln(-a) -> a>=a/2 * ln(-a) -> 2<=ln(-a) -> e^2<=-a ->a<-e^2
2）要使f(x)>0恒成立 不可能因为x趋向于0时 lnx趋向于负无穷 f(x)也趋向于负无穷 所以a无解
所以a的取值范围是a<-e^2

Answer 4

f'=x+a/x
在x>0使f(x)小于等于0成立
f'<0
x+a/x<0
a<-x^2
a<0

追问

a>0时为什么不行？

追答

a>0,f'就不能<0,使f(x)小于等于0成立了

明白了？
请采纳

Answer 5

可以用图形解释
画出y=0.5x^2和y=lnx的图形
a=0显然不符合
a>0满足条件
a<0时，且x>1才有可能满足条件，这时求导
f(x)‘=x+a/x 令f(x)‘=0得x=√(-a) x>1 得a<-1 只需要满足f(√(-a) )《0
解得a《-e
综上述a>0或a《-e
数形结合解题是有效的

Answer 6

显然a不等于0，且a>0时是满足要求的
当a<0时，对f求导得
f'=x+a/x,令f'=0 得x=根下（-a),把它代入f，并令其小于等于0，得a<=--e^(1/2)
所以a>0或a<=--e^(1/2)