Question

高一数学题，平面向量数量积

12题

Answer 1

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2
向量的数量积公式：a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。初中学过的功的公式，可以写作W=F·s，即力和位移的数量积（内积）。
一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积，前提始位置要相同。
数量积的性质
设a、b为非零向量，则
①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b=a·b=0
③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·a=|a|2=a2或|a|=√a·a
④|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立
⑤cosθ=a·b╱|a||b|（θ为向量a.b的夹角）
⑥零向量与任意向量的数量积为0。
向量数量积的运算律
⑴交换律：a·b=b·a
⑵数乘结合律：（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb）
⑶分配律：（a+b）·c=a·c+b·c
平面向量数量积的几何意义
①一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是a、b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投 影。
②a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积
★注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量。
③数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
希望我能帮助你解疑释惑。

Answer 2

由勾股定理可知，DA⊥DB，
记向量 a＝DA，b＝DB，显然 a*b＝0，
则 DE＝1/3 EB＝1/4 DB＝b/4，
所以 DF＝1/3 AB＝1/3 (b - a)，
因此 AF*BD＝(DF - DA)*( - DB)
＝(1/3 b - 4/3 a)*(-b)
＝ - 1/3 b²
＝- 1。
选 D

追问

您好，请问df为什么等于三分之一ab呢

追答

上下两个三角形相似，DF：AB＝DE：EB

追问

谢谢您！这次明白啦！