Question

高数求极限问题

1.如图，上面红圈里可以当成1提走，下面红圈不能当做0？2.下面红圈用泰勒公式=2（cosx-1）=-x平方也不对，为什么？

Answer 1

上面红圈里可以用 1 代入，下面红圈不能当做 0！
下面红圈用泰勒公式 cosx=1-x^2/2+x^4/24+o(x^5)
计算结果，极限=1/12
如果用泰勒公式求极限，通常有加减的时候要特别注意要取到泰勒展式的第几项，尽量把前面的项都消掉，然后剩下最后一项，余项才可略去，

Answer 2

如图所示

追问

1.如图，上面红圈里可以当成1提走，下面红圈不能当做0？2.下面红圈用泰勒公式=2（cosx-1）=-x平方也不对，为什么？

Answer 3

极限计算中需要注意两点：
1.分式的分子或分母的乘积因子的极限可以先求出来，以简化运算；但分子或分母是多项的代数和时，不可以先把其中的一些项的极限求出来！
2.分子或分母里的乘积因子可以用等价无穷小替换；但分子或分母是多项的代数和时，不可以对其中一些项作无穷小替换！
以上两点涉及许多初学者最容易犯的两种错误，也恰巧是解决题主1、2两个问题的答案。

追答

所说两点是一般性结论，不排除极个别例外情形

追问

具体原因是为什么呢？能麻烦详细解释一下吗？谢谢啦
e的x次方趋向于0 可能大于1也可能小于1，为什么可以直接当做1提出去。
等价无穷小是不是泰勒公式的替换，因为x/sinx只用上下同阶，所以sinx~x，而x-sinx用幂次最低=1/6x的3方，不是0。这就是无穷小替换只能用乘除的原因嘛？
那x*sinx换成sinx/（1/x）用上下同阶sinx也没有-1次方，怎么办？

追答

首先，e^x不是被“当作1提出去”的，而是先将e^x提出去，然后把e^x的极限先算出来（是1）去掉了。
其次，等价无穷小替换包括利用熟知的等价公式和泰勒公式。
最后，xsinx改写成sinx/(1/x)后不可能分子分母都是无穷小，所以只能用别的办法解决

追问

为什么分子或分母是多项的代数和时，不可以先把其中的一些项的极限求出来？

追答

这个没有依据，极限的运算法则里没有关于有理分式的极限可以先求出分子或分母中部分项的极限的。数学是十分严谨的，每一步都要都依据才行。

Answer 4

之后就是0/0，洛必达法则了，用不到泰勒
=lim(2x－2sinx)/4x³
=lim(2－2cosx)/12x²
=lim2sinx/24x
=1/12

Answer 5

你这种做法求极限太粗略 了，很容易求错。一般乘积可以先求极限，但是加减是不能单独求极限的。你那里的 exp{x^2-2+2 cos x} -1 用等价无穷小的时候放的太过，导致错误。