Question

高数变限积分求导公式问题？

求大佬看看

Answer 1

你写的三个式子都是成立的。
事实上，就是最上面的结论，只是不同的被积函数都看作 f(t) 而已。
比如 f(t^n) 写成 g(t)，结果 = g(x) = f(x^n) 。

Answer 2

第 3 式成立。第 1 式经证明成立。 第 2 式不能是 0 到 x 积分，要改为 1 到 x 积分，才成立。

1. 令 t^n = u, 则 t = u^(1/n), dt = (1/n)u^(1/n-1)du
g(x) = ∫<0, x>f(t^n)dt = ∫<0, x^n>f(u)(1/n)u^(1/n-1)du,
g'(x) = nx^(n-1) f(x^n)(1/n)(x^n)^(1/n-1) = f(x^n)
2. 令 lnt = v, 则 t = e^v, dt = e^vdv
h(x) = ∫<1, x>f(lnt)dt = ∫<0, lnx>f(v)e^vdv
h'(x) = (1/x)f(lnx)e^(lnx) = f(lnx)

Answer 3

你说的没错，变上限函数的导数就等于把上限变量代入被积函数。
需要注意的是，如果变动的上限不是单个自变量x，而是变量x的函数g(x)的话，则要按照复合函数求导法则计算，即
[∫(0,g(x)) f(t)dt]'＝f[g(x)] * g'(x).