Question

求教!】A是n阶方阵,A^2=A,证明：A相似于对角矩阵

Answer 1

证法一:
由A^2=A知x^2-x为A的零化多项式，从而A的极小多项式无重根，故A相似于对角阵。
证法二:
易知r(A)+r(A-E)=n。若r(A)=r，则AX=0的基础解系有n-r个解向量（A-E的线性无关的列向量），即A有n-r个属于特征值0的线性无关的特征向量，同理，A有r个属于特征值1的线性无关的特征向量。总之，A有n个线性无关的特征向量，故A相似于对角阵。

Answer 2

证明:
因为
a^2=a,
所以
a(a-e)=0
所以
r(a)+r(a-e)
<=
n.
又因为
n=r(e)=r[a-(a-e)]<=r(a)+r(a-e)
所以
r(a)+r(a-e)=n.
ax=0
基础解系含
n-r(a)
个解向量
(a-e)x=0
的基础解系含
n-r(a-e)
个解向量
所以,
a的属于特征值0,1的线性无关的特征向量的个数为
[n-r(a)]+[n-r(a-e)]
=
n
所以a可对角化,
即a相似于对角矩阵.