Question

理论力学判断自由度的问题

为什么这道题有3个自由度，我只找了2个

Answer 1

滑轮A转动是一个自由度，斜面在水平方向平动是一个自由度，滑轮B在斜面上纯滚动是一个自由度。至于车轮在平面内沿着一条直线纯滚动的自由度为1，我给出以下解释：车轮在平面中自由运动时，有三个自由度，现车轮沿着一条直线做纯滚动，约束方程有两个，分别是Yc=R, dXc/dt=R*(d(phi)/dt)，其中Xc、Yc分别是车轮轮心的坐标，R为车轮半径，即车轮纵坐标被约束，车轮轮心速度与车轮角速度互有约束，第一个约束我们称其为几何约束，第二个约束为非完整约束。因此可得广义坐标数为自由系统（不受任何约束的质点系）自由度数减去几何约束个数，即3-1=2，自由度数为自由系统自由度数减去几何约束个数，再减去非完整约束个数，即3-1-1=1。由此可见，当质点系有n个质点时，其独立的广义坐标数为3n-l, 自由度数为3n-l-r, 其中l为几何约束个数，r为非完整约束个数，可知，当非完整约束个数为零时，广义坐标数等于自由度数。
补充：几何约束为约束方程中不含速度、只对其位置做出限制的约束，而非完整约束是约束中含有速度约束，且此约束方程不能由积分运算变成几何约束的约束。通常，我们把含有速度约束的约束方程称为微分约束，将几何约束连同可通过积分运算变成几何约束的微分约束统称为完整约束，将不能通过积分运算变成几何约束的微分约束称之为非完整约束。

Answer 2

两个质点在空间内有6个位形坐标，减掉你写的约束方程个数就是自由度。但要注意约束方程必须相互独立。把两个冰刀看成两个在平面内运动的杆，一共有6个自由度，用来连接的杆有三个自由度，铰接之后，每个铰所连接的杆各自减掉一个自由度，也就是6+3-2*2=5个自由度。（实际上很容易看到连接体有5个广义坐标，两个方向的位移坐标x,y和三个杆的方位角坐标）

Answer 3

自由度：确定物体的位置所需要的独立坐标数称作物体的自由度。 空间自由刚体有6个自由度，分别是X、Y、Z直线方向上的3个自由度，和分别绕X、Y、Z轴转动的3个旋转自由度
在确定的曲线上运动的质点自由度为1，在确定的曲面上运动的质点自由度为2，在三维空间可自由运动的质点自由度为3，自由刚体的自由度为6。
对于机械而言，我们多需要它有确定的运动轨迹，所以其自由为1.
在平面内沿直线作纯滚动的轮有2个自由度，一个是所沿直线方向的自由度，一个是纯滚动时绕轮轴轴线的转动自由度。
水平面运动的球，有5个自由度，分别是X、Y轴方向的2个直线方向的自由度，和3个绕X、Y、Z座标轴的转动自由度。
对补充问题的回答：
你们老师是正确的，我忽视了是“纯滚动”，十分对不起，误导了你。“纯滚动”与“转动”是两个概念，如果是转动，那么就有一绕某轴线旋转的自由度，而纯滚动是没有这样一个轴线的。
纯滚动这个概念讲起来挺不好理解。我用通俗些的话来说吧：纯滚动可以看成在每一瞬间,皆以轮与面接触线P为旋转转轴的纯旋转运动，而在一平面上且沿确定方向作纯滚动的轮，P线变成了不同时刻下的无数条线，成了轮滚过的一个面，而轮滚动的确有一个轴线但这个轴线是它自身，而非空间X、Y、Z中的一个，所以说这时的轮子就与一个正方体在平面上滑动一样没有区别，所以自由度是1.
我解释的可能还是不太清楚。