Question

求三角函数最值的几种常见类型

Answer 1

1. 形如y=asina+b （或y=acosa+b ）型函数，借助于正余弦函数的有界性求解
　　例1，求函数y=3sinx+2 当θ-π2 ≤x≤π2时的最值
　　解： θ-π2 ≤x≤π2
　　∴ sinx∈［-1,1］∴y∈［-1,2］
　　即函数的最大值为2，最小值为-1
　　2. 形如y=asinx+bcosx型问题，通常采用引入辅助角，借助于正余弦函数的有界性和单调性求解
　　例2，当 -π2≤x≤π2时，求函数f(x)=sinx+ 3cosx的最大值最小值
　　解： 原函数可化为f(x)=2sin(x+π3 )
　　θ-π2 ≤x≤π2，∴-π6 ≤x+π3≤5π6
　　∴ -12≤sin（x+ π3）≤1
　　∴当x= π6时f(x)取得最大值2，
　　当x= -π6时，f(x)取得最小值-1。
　　3. 形如y=asina+bccosa+d 型函数，借助于图像或将其转化为第二种类型求解
　　例3，求函数y=sinx-1cosx+2 的值域
　　解：原式可化为： 2y+1= 1+y2sin(x+Ф) ∴ sin(x+Ф)=2y+1 1+y2∈［-1,1］ ∴y∈［-43,1］
　　另解：本题还可以设点A（cosx,sinx）B(-2,1),其中点A的轨迹是以（0,0）为圆心，1为半径的圆，可转化为点B与圆上点连线的斜率问题，避开解含绝对值的不等式。
　　4. 同时含有sinx+cosx与sinxcos x型，此类题型借助于sin2a+cos2a=1将二者联系起来，采用换元的方法解题，但一定要应注意所换参数的取值范围