Question

求二重积分，结果和答案不一样，求解答

第18题
参考答案是29π/4

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Answer 1

答案不对，我算出来是5π

以上，请采纳。

Answer 2

答案对着呢

Answer 3

引用liuqiang1078的回答：
答案不对，我算出来是5π

以上，请采纳。

答案是有问题，但不是 5π. 因 r = 2sinθ 是 0 到 π ， 都用 0 到 2π 积分错误。
解答如下：
积分域关于 y 轴对称， x 的奇函数 2xy 积分为 0.

I = ∫∫<D>(x+y)^2dxdy = ∫∫<D>(x^2+y^2)dxdy
= ∫<0, 2π>dt∫<0, 2>r^3dr - ∫<0, π>dt∫<0, 2sint>r^3dr
= 2π[(1/4)r^4]<0, 2> - ∫<0, π>dt[(1/4)r^4]<0, 2sint>
= 8π - ∫<0, π>4(sint)^4dt = 8π - ∫<0, π>(1-cos2t)^2dt
= 8π - ∫<0, π>[1-2cos2t+(cos2t)^2]dt
= 8π - ∫<0, π>[3/2-2cos2t+(1/2)cos4t)]dt
= 8π - [3t/2-sin2t+(1/8)sin4t]<0, π> = 13π/2
如不利用对称性，则
I = ∫∫<D>(x+y)^2dxdy = ∫∫<D>(x^2+y^2+2xy)dxdy
= ∫<0, 2π>dt∫<0, 2>r^3(1+2sintcost)dr - ∫<0, π>dt∫<0, 2sint>r^3(1+2sintcost)dr
= ∫<0, 2π>4(1+2sintcost)dt - ∫<0, π>4(sint)^4(1+2sintcost)dt
= 4[t+(sint)^2]<0, 2π> - ∫<0, π>4(sint)^4dt - ∫<0, π>8(sint)^5dsint
= 8π - [3t/2-sin2t+(1/8)sin4t]<0, π> - (4/3)[(sint)^6]<0, π> = 13π/2