Question

limx趋向0根号下（1+tanx) - 根号下(1+sinx)的差/x的三次方

Answer 1

用洛必达法则
分子求导(tanx-x)
=sec²x-1
分母求导(x-sinx)=1-cosx
仍是0/0型，继续用洛比达法则
分子求导
(sec²x-1
)
=2secx*tanxsecx=2sinx/cos³x
分母求导=(1-cosx)=sinx
所以原式=lim
x→0(2sinx/cos³x)/sinx
=lim
x→0(2/cos³x)
=2/1
=2

Answer 2

Lim
(x->0)
[√(1+tanx)
-
√(1+sinx)]
/
x^3
分子分母同时乘以
√(1+tanx)
+
√(1+sinx)
原式
=
lim(x->0)
(tanx
-
sinx)
/
x^3
/
[√(1+tanx)
+
√(1+sinx)
]
=
(1/2)
lim(x->0)
tanx
(1
-
cosx)
/
x^3
等价无穷小代换
=
(1/2)
lim(x->0)
x
*
(x^2
/2)
/
x^3
tanx
~
x
，
1
-
cosx
~
x^2
/2
=
1/4