高数 微分方程题，求解，谢谢
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等号后面的sinx相当于特征值是i，故需要讨论a是否等1
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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第一步：求对应的齐次方程的通其特征方程的两个根为±ai （i为虚数）
所以通解为 C1*cosax + C2 *sinax (C1、C2为任意常数)
第二步,求特解,当a≠1时,设其特解形式为Acosbx+Bsinbx
代入方程解得：=[1/(a^2-1)]sinx
所以通解为：y= C1*cosax + C2 *sinax + [1/(a^2-1)]sinx
当a=1时,设特解形式为x(Acosbx+Bsinbx)
代入方程解得：=-0.5xcosx
所以通解为：y= C1*cosax + C2 *sinax - 0.5xcosx
所以通解为 C1*cosax + C2 *sinax (C1、C2为任意常数)
第二步,求特解,当a≠1时,设其特解形式为Acosbx+Bsinbx
代入方程解得：=[1/(a^2-1)]sinx
所以通解为：y= C1*cosax + C2 *sinax + [1/(a^2-1)]sinx
当a=1时,设特解形式为x(Acosbx+Bsinbx)
代入方程解得：=-0.5xcosx
所以通解为：y= C1*cosax + C2 *sinax - 0.5xcosx
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求微分方程 y''+a²y=sinx的通解，(a>0)
解：(一).当a≠1时：
齐次方程 y''+a²y=0的特征方程 r²+a²=0的根：r₁=ai；r₂=-ai;
故齐次方程的通解为：y=c₁cosax+c₂sinax；
设其特解为：y*=Asinx...........①;
y*'=Acosx； y*''=-Asinx...........②；
将①②代入原式得：-Asinx+a²Asinx=(a²-1)Asinx=sinx； 故A=1/(a²-1)；
∴特解y*=[1/(a²-1)]sinx； 通解 y=c₁cosax+c₂sinax+[1/(a²-1)]sinx;
(二)。当a=1时，原方程变成y''+y=sinx;
齐次方程 y''+y=0的通解为：y=c₁cosx+c₂sinx；
设其特解为：y*=Axcosx；y*'=Acosx-Axsinx；y*''=-2Asinx-Axcosx; 代入原式得：
-2Asinx-Axcosx+Axcosx=-2Asinx=sinx；故A=-1/2; 于是特解 y*=-(1/2)xcosx；
此时通解为：y=c₁cosx+c₂sinx-(1/2)xcosx；
解：(一).当a≠1时：
齐次方程 y''+a²y=0的特征方程 r²+a²=0的根：r₁=ai；r₂=-ai;
故齐次方程的通解为：y=c₁cosax+c₂sinax；
设其特解为：y*=Asinx...........①;
y*'=Acosx； y*''=-Asinx...........②；
将①②代入原式得：-Asinx+a²Asinx=(a²-1)Asinx=sinx； 故A=1/(a²-1)；
∴特解y*=[1/(a²-1)]sinx； 通解 y=c₁cosax+c₂sinax+[1/(a²-1)]sinx;
(二)。当a=1时，原方程变成y''+y=sinx;
齐次方程 y''+y=0的通解为：y=c₁cosx+c₂sinx；
设其特解为：y*=Axcosx；y*'=Acosx-Axsinx；y*''=-2Asinx-Axcosx; 代入原式得：
-2Asinx-Axcosx+Axcosx=-2Asinx=sinx；故A=-1/2; 于是特解 y*=-(1/2)xcosx；
此时通解为：y=c₁cosx+c₂sinx-(1/2)xcosx；
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