Question

求证sin(α+β)=cos(α+β)

若方程x²+mx+m+1=0的两根为tanα和tanβ，求证sin(α+β)=cos(α+β)

Answer 1

据韦达定理：tanα+tanβ=-m （1）
tanα*tanβ=m+1 （2）
由（1）：sinα/cosα+sinβ/cosβ=-m
（sinαcosβ+sinβcosα）/（cosαcosβ）=-m
sin(α+β)=-mcosαcosβ （3）
由（2），有： sinαsinβ/（cosαcosβ）=m+1
-1+ sinαsinβ/（cosαcosβ）=m
1-sinαsinβ/（cosαcosβ）=-m
（cosαcosβ-sinαsinβ）/（cosαcosβ）=-m
cos(α+β)/（cosαcosβ）=-m
cos(α+β)=-m（cosαcosβ） （4）
联立（3） （4）：sin(α+β)=cos(α+β)

Answer 2

x²+mx+m+1=0的两根为tanα和tanβ，
tanα+tanβ=-m
tanα·tanβ=m+1 韦达定理
∴tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)
=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
=-m/[1-(m+1)=1
∴sin(α+β)=cos(α+β)

Answer 3

证明过程如下