Question

利用拉格朗日数乘法求表面积为a^2的长方体的最大体积

Answer 1

设长方体长为x, 宽为y, 高为z
目标函数f(x,y,z)=xyz
限制条件为g(x,y,z)=2(xy+yz+xz)=a²
即φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0
引入拉格朗日乘子λ, 构造拉格朗日函数L(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)=xyz+λ[2(xy+yz+xz)-a²]
则
L'x(x,y,z)=yz+2λ(y+z)=0.....(1)
L'y(x,y,z)=xz+2λ(x+z)=0.....(2)
L'z(x,y,z)=xy+2λ(x+y)=0.....(3)
φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0.....(4)
由(1)(2)(3)得
x=y=z=4λ
代入(4)得
λ=a/√96=√6a/24
即驻点为P(x,y,z)=P( √6a/24, √6a/24, √6a/24)
唯一驻点，故最值
最大体积V=xyz=8λ^3=√6a^3/2304