Question

数列求和(1).1^4+2^4+3^4+......+n^4 (2).1^5+2^5+3^5+.......+n^5

Answer 1

以下证明利用到：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6和1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2；
证明：（1）2^5=(1+1)^5=1^5+5×1^4+10×1^3+10×1^2+5×1^1+1
3^5=(2+1)^5=2^5+5×2^4+10×2^3+10×2^2+5×2^1+1
……
(n+1)^5=n^5+5×n^4+10×n^3+10×n^2+5×n^1+1
上式相加，相同项消去
(n+1)^5=1^5+5×(1^4+2^4+……+n^4)+10×(1^3+2^3+……+n^3)+10×(1^2+2^2+……n^2)+5×(1+2+……+n)+(1+1+……+1)
5×(1^4+2^4+……+n^4)=(n+1)^5-10×[n(n+1)/2]^2-10×n(n+1)(2n+1)/6-5×n(n+1)/2-n-1
化简得1^4+2^4+……+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
（2）方法和上面差不多，把左边的5次方改为6次方即可，在此不再赘述。
结果为(n+1)^2 * n^2 * (2n^2+2n-1) / 12

追问

写出（2）的具体过程才能加分

追答

2^6=(1+1)^6=1^6+6×1^5+15×1^4+20x1^3+15×1^2+6×1^1+1
3^6=(2+1)^6=1^6+6×2^5+15×2^4+20x2^3+15×2^2+6×2^1+1
……
(n+1)^6=1^6+6×n^5+15×n^4+20xn^3+15×n^2+6×n^1+1，
上式相加，相同项消去
(n+1)^6=1^6+6×(1^5+2^5+……+n^5)+15×(1^4+2^4+……+n^4)+20×(1^3+2^3+……n^3)+15x（1^2+2^2+……n^2）+6×(1+2+……+n)+(1+1+……+1)
1^5+2^5+3^5+.......+n^5
= (n+1)^2 x n^2 x(2n^2+2n-1) / 12

参考资料： 看我这么认真，加点分吧！

Answer 2

数列求和
(1).1^4+2^4+3^4+......+n^4
= n (n+1) (2n+1) (3n^2+3n-1) / 30

(2).1^5+2^5+3^5+.......+n^5
= (n+1)^2 * n^2 * (2n^2+2n-1) / 12