Question

概率论有关随机变量的两个题目

其实不是很清楚正态分布,麻烦高手帮忙解决下哈..越详细越好

Answer 1

上题：
f(x)为概率密度函数，则f(x)在(-\infty,+\infty)上的积分等于1：
1=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx
=\int_{-\infty}^0 af1(x)dx+\int_0^{\infty} bf2(x)dx
=a*1/2+b*3/4
即有： 2a+3b=4
其中\int表示积分号，\infty表示无穷大，_表示积分的下限的下标，^表示积分的上限的上标。

下题：
记X的数学期望为u1、标准差为a1（即方差为a1^2）；Y的数学期望为u2、标准差为a2。并记标准正态随机变量的分布函数为G(.)
由题意得：Z1=(X-u1)/a1和Z2=(Y-u2)/a2均服从标准正态分布，则
P{|X-u1|<1}=P(|Z1|<1/a1)=2G(1/a1)-1
P{|Y-u2|<1}=P(|Z2|<1/a2)=2G(1/a2)-1
由P{|X-u1|<1}>P{|Y-u2|<1}得
G(1/a1)> G(1/a2)
由于G是严格单调增函数，所以 1/a1 > 1/a2， 故a1 < a2。

追问

就是e^-(x^2)/2怎么求积分的呢

追答

f1是标准正态随机变量的密度函数，利用对称性，直接可得f1在负无穷到0上的积分是1/2。