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令 y=xu，则 u＝
y
x
，且
dy
dx
＝u+x
du
dx
．
由 （3x2+2xy-y2）dx+（x2-2xy）dy=0 可得
dy
dx
＝−
3x2+2xy−y2
x2−2xy
=−
u2−2u−3
2u−1
，
所以 x
du
dx
＝
dy
dx
−u=−
3(u2−u−1)
2u−1
．
利用分离变量可得，
2u−1
u2−u−1
du＝−
3
x
dx，
两边积分可得
ln|u2-u-1|=-3ln|x|+C，
故 u2-u-1=
C
x3
．
将 u＝
y
x
代入，可得
y2-xy-x2=
C
x
．
y
x
，且
dy
dx
＝u+x
du
dx
．
由 （3x2+2xy-y2）dx+（x2-2xy）dy=0 可得
dy
dx
＝−
3x2+2xy−y2
x2−2xy
=−
u2−2u−3
2u−1
，
所以 x
du
dx
＝
dy
dx
−u=−
3(u2−u−1)
2u−1
．
利用分离变量可得，
2u−1
u2−u−1
du＝−
3
x
dx，
两边积分可得
ln|u2-u-1|=-3ln|x|+C，
故 u2-u-1=
C
x3
．
将 u＝
y
x
代入，可得
y2-xy-x2=
C
x
．
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网易云信
2023-12-06 广告
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