Question

设f(x)在闭区间【a,b】上连续,在开区间(a,b)内可导

设f(x)在闭区间【a,b】上连续,在开区间(a,b)内可导,求证:ξ∈(a,b)使f(a)-f(b)=f'((ξ)/2ξ(b²-a²)

Answer 1

[证] 对函数g(x)=exf(x)在区间[a，b]上使用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得对函数g(x)=e3x在区问[a，b]上使用拉格朗日中值定理，存在η∈(a，b)，使得计算②与①两端的比值可得：(e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η-ξ．

[解析] 欲汪结论为(a，b)内存在ξ，η满足某个等式的命题．其证明思路是：用两次拉格朗日中值定理，或一次拉格朗日、一次柯西中值定理，或足两次柯西中值定理，分别得到关于ξ、η的两个等式．然后再将所得等式作某种运算．

Answer 2

设F(x)=f(x)-f(a)-(x²-a²)(f(b)-f(a))/(b²-a²)
则F(a)=F(b)=0,F(x)在[a,b]上满足中值定理条件
∴存在ξ∈(a,b)使得F'(ξ)=0
即f'(ξ)-2ξ(f(b)-f(a))/(b²-a²)=0
即2ξ(f(b)-f(a))=(b²-a²)f'(ξ)
谢谢采纳

追问

请问怎么能快速知道应该设F（x）的式子的内容呢

追答

多做题，积累经验

Answer 3

在数学里，区间通常是指这样的一类实数集合：如果x和y是两个在集合里的数，那么，任何x和y之间的数也属于该集合。例如，由符合0 ≤ x ≤ 1的实数所构成的集合，便是一个区间，它包含了0、1，还有0和1之间的全体实数。其他例子包括：实数集，负实数组成的集合等。
区间在积分理论中起着重要作用，因为它们作为最"简单"的实数集合，可以轻易地给它们定义"长度"、或者说"测度"。然后，"测度"的概念可以拓，引申出博雷尔测度，以及勒贝格测度。
区间也是区间算术的核心概念。区间算术是一种数值分析方法，用于计算舍去误差。
区间的概念还可以推广到任何全序集T的子集S，使得若x和y均属于S，且x<z<y，则z亦属于S。例如整数区间[-1...2]即是指{-1,0,1,2}这个集合。
通用的区间记号中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。例如，区间(10, 20)表示所有在10和20之间的实数，但不包括10或20。另一方面，[10, 20]表示所有在10和20之间的实数，以及10和20。而当我们任意指一个区间时，一般以大写字母 I 记之。有的国家是用逗号来代表小数点，为免产生混淆，分隔两数的逗号要用分号来代替。
直线上介于固定的两点间的所有点的集合（不包含给定的两点），用(a,b)来表示（不包含两个端点a和b）。
开区间的实质仍然是数集，该数集用符号（a，b）表示，含义一般是在实数a和实数b之间的所有实数，但不包含a和b。相当于{x|a<x<b}，记作（a,b） 取值不包括a、b。
开区间指的是区间边界的两个值不包括在内；（a,b）
闭区间指的是区间边界的两个值包括在内。[a,b]
半开半闭区间:开区间一边的边界值不包括在内，而闭区间一边的边界值包括在内。[a,b）、（a,b]
如下：
[a,b] a<=x<=b 取值包括a、b
（a,b）a<x<b 取值不包括a、b
[a,b） a<=x<b 取值包括a，不包括b
（a,b] a<x<=b 取值不包括a，包括b
希望我能帮助你解疑释惑。