Question

辛卜生积分方程求导法

Answer 1

由定积分定义

地球物理数据处理基础

用式（7－9）辛卜生公式代替上式右端积分，得

地球物理数据处理基础

为了求取f′（x_i）（i＝0，1，…，n），记为m_i＝f′（x_i）（i＝0，1，…，n），并略去误差项，即可得到关于m_i的三对角方程组：

地球物理数据处理基础

此式即为利用辛卜生积分法求导的三对角方程组，它具有n－1个条件，但有n＋1个未知数m_i（i＝0，1，2，…，n）的方程组，须再给定两个边界条件方可求出m_i，其余项为

地球物理数据处理基础

下面给出一种不需要边界条件的解法。先用中心差商公式计算m₁，m_n－1：

地球物理数据处理基础

合并到式（7－24），使之成为n＋1个条件、n＋1个未知数的方程组，其形式为

地球物理数据处理基础

求解方程（7－27）求出m_i（i＝0，1，2，…，n），此时m₁及m_n－1的精度为O（h²），其他m_i为O（h⁵）。

除用上面方法确定m₁，m_n－1外，还可用向前、向后差商求出m₀和m_n：

地球物理数据处理基础

形成类似于式（7－27）的方程组，求解即可得到各导数值。