Question

微分方程求特解

第七题求解

Answer 1

解答如下图：

Answer 2

如图所示

追问

想要分部积分那一部分的详解

Answer 3

先求通解，x=0代入求出常数。
齐次：
y'=2xy
y'/y=2x
lny=x²+C
y=e↑（x²+C）
变常数法：
y'=(2x+C')e↑（x²+C）
代入原方程：
(2x+C')e↑（x²+C）-2xe↑（x²+C）=xe↑（-x²）
C'e↑（x²+C）=xe↑（-x²）
C'e↑C=xe↑（-2x²）
e↑C=(-1/4)e↑（-2x²）+C2
C=ln[(-1/4)e↑（-2x²）+C2]
y=e↑（x²+C）
=y=e↑（x²+ln[(-1/4)e↑（-2x²）+C2]）
=[(-1/4)e↑（-2x²）+C2]e↑x²
=(-1/4)e↑（-x²）+C2e↑x²
x=0
y=(-1/4)+C2=1
C2=5/4
特解：
y=(-1/4)e↑（-x²）+（5/4）e↑x²

Answer 4

Answer 5

对应齐次微分方程y'-2xy=0的通解为y=C1e^x²,设原方程的特解为y*=C(x)e^x²y*'=[C'(x)+2xC(x)]e^x²y*'-2xy=C'(x)e^x²=xe^(-x²)C'(x)=xe^(-2x²)C(x)=-1/4*e^(-2x²)+C2y*=(-1/4*e^(-2x²)+C2)*e^x²=-1/4*e^(-x²)+C2e^x²所以原方程的通解为y=-1/4*e^(-x²)+Ce^x²由于x=0,y=1,代入解得C=5/4所以原方程的特解为y=-1/4*e^(-x²)+5/4*e^x²