Question

已知f(x)=x²-2ax+2,当x∈【-1，正无穷】时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

已知F(x)=x^2—2ax+2,当x>=-1时，F(x)>=a恒成立,也就是F(x)-a=x^2-2ax+2-a>=0
因F(x)-a=x^2-2ax+2-a=(x-a)^2-(a^2+a-2),故F(x)-a在x=a时达到最小值-(a^2+a-2)
(1)当a>=-1时
若要对x>=-1成立的一切x使F(x)-a>=0恒成立，必须使F(x)-a的最小值-(a^2+a-2)>=0
那么，解出-2<=a<=1.
结合所给a的范围知,当-1<=a<=1时满足要求；
（2）当a<-1时
若要对x>=-1成立的一切x使F(x)-a>=0恒成立，只须使F(-1)-a>=0即可，F(-1)-1=1+2a+2-a=a+3>=0
所以，a>=-3
结合所给a的范围知，当-3<=a<-1时也满足要求。
综上所述，a的范围是：-3<=a<=1.