Question

已知A,B,C是正数，用综合法证明：(2)2(A^3+B^3+C^3)>=A^2(B+C)+B^2(A+C)+C^2(A+B)

Answer 1

方法一：因为a^3+b^3==(a+b)(a^2-ab+b^2)
又 a^2+b^2≥2ab
所以a^3+b^3≥ab(a+b)
a^3+c^3≥ac(a+c)
b^3+c^3≥bc(b+c)

所以2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)成立

方法二：
a^3+a^3+b^≥3a^2b
a^3+a^3+c^3≥3a^2c
b^3+b^3+a^3≥3b^2a
b^3+b^3+c^3≥3b^2c
c^3+c^3+a^3≥3c^2a
c^3+c^3+b^3≥3c^2b
各式相加得到
6(a^3+b^3+c^3）≥3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)
所以2(a^3+b^3+c^3）≥a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b
=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

这个是找了好久才找到的，其实个人觉得本题还是分析作差法较容易想到。
另：望采纳O(∩_∩)O~