Question

圆柱和圆锥体积之间有一种关系

Answer 1

设圆锥的底面半径是r，高是h
以圆锥顶点为原点，以圆锥的中心线为x轴建立坐标系
则如好距离原点x处的截面半径是xr/h
圆锥的体积可用积分表示为
s=∫(0,h)π(xr/h)²dx，积分范围是(0,h)
=∫(0,h)πx²r²/h²dx
=[πx³r²/(3h²)](0,h)
=[πh³r³/(3h²)]-[π×0×r²/(3h²)]
=πr²h/3
即圆锥帆橡此的体积等于与它等底等高的圆柱体积的3分之1
初中的话可以用类似于微积分的方法证明。
设圆锥高为h，底部半径为r，把圆锥等分为k份，每份看做一个小圆柱。
则第n份圆柱的高为h/k,
半径为n*r/k。
则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=pi*h*r^2*n^2/k^3
总的体积为pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3
而1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
则总体积为pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
k越大，这个总体积越接近于圆锥的体积。
当k为无穷大时，则1/k等于0。态迅即总体积为pi*h*r^2/3,即为圆柱体积的三分之一。

Answer 2

说明等底等高圆柱的体积是圆锥的3倍。而等底等高圆锥体积是圆柱的三分之一。