Question

初中数学奥赛几何题

如图，两圆交于C、D两点，过C点的一条直线分别交两圆于A、B两点，K是AB中点，E是优弧AD中点，F是优弧BD中点，求证EK=FK
还要证明KE⊥KF

Answer 1

解答：

连接AD、BD，取AD、BD的中点M、N，连接EM、MK、FN、NK、ED、DF、AE、CD、BF，设EK交AD于T。

所以角EMD=DNF=90度，

角MED=1/2AED

角NDF=1/2弧BF=1/4弧BFD=1/2角BCD

因为角BCD=AED

所以角MED=NDF

所以三角形MED与NDF相似

所以ME：MD=ND：NF

因为K、M、N是AB、AD、BD中点，

所以KM=1/2BD=ND，KN=1/2AD=MD，

所以四边形KMDN是平行四边形，AD平行KN，BD平行KM，角KMD=KND，ME：KN=KM：NF

所以角KME=KNF

所以三角形KME与KNF相似

所以角NKF=MEK

因为AD平行KN，所以角EKN=ETD

所以角EKF=EKN-NKF=ETD-MEK=EMD=90度，即KE⊥KF。

经用几何画板验证，EK：KF=EM：MD=DN：NF，一般情况下，EK=FK不成立。

Answer 2

此题可能有误，或差条件，
两个圆的半径如果变化，KE和KF的长度也在变化，不可能总相等。

追问

我画过很多标准图，全都相等

Answer 3

先留下名字，看看高人出手！

Answer 4

题目有误

追问

绝对没问题，自己画图去

Answer 5

太复杂了