Question

一道初三的动态几何难题！急急急！！！

在△ABC中，点P是边AC上一个动点，过点P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
（1）求证：PE=PF
（2）当点P在边AC上运动时，四边形BCEF可能是菱形吗？请说明理由.
（3）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且AP÷BC=√3÷2，求这时∠A的大小.

Answer 1

解：（1）∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE=∠ECP，
又∵MN‖BC，
∴∠BCE=∠CEP，
∴∠ECP=∠CEP，
∴PE=PC；
同理PF=PC，
∴PE=PF；

（2）当点P运动到AC边中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
由（1）可知PE=PF，
∵P是AC中点，
∴AP=PC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD，
且∠BCA+∠ACD=180°，
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF= 1/2（∠BCA+∠ACD）= 1/2×180°=90°，
∴平行四边形AECF是矩形；

（3）证明：若四边形AECF是正方形，则AC⊥EF，AC=2AP．
∵EF‖BC，
∴AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴cos∠A= AC:BC=2AP:BC= √3，
∴∠A=30°．