Question

在△ABC中,AD平分∠BAC或∠BAC的外角,交BC边所在的直线于点D,过点C作CM⊥AD,垂足为点M，已知AB＝AD

（1）当AD平分∠BAC时（如图一），求证AC—AB＝2DM。
（2）当AD平分∠BAC的外角时（如图二），猜想线段AC、AB、AM之间的数量关系，并加以证明。
（3）当AD平分∠BAC的外角（如图三），猜想线段AC、AB、AM之间的数量关系，并加以证明。

Answer 1

于DM延长线上取点E，使DM=EM，则CM为DE的垂直平分线，∴CD=CE，∠CDE=∠CED。于AC上取点F使AF=AD，连DF∵AD(AE)平分∠CAB∴∠CAD=∠EAB(DAB)，AB=AD=AF，∴△ABD与△ADF全等，∴BD=DF，∠ADF=∠AFD=∠ABD=∠ADB=∠CDE(对顶角)=∠CED(已证)，∴DF与CE平行(同位角∠ADF=∠DEC)，∴∠ACE=∠AFD(同位角)∴△ACE为等腰△∴AC=AE，
∵AC=AE，AB=AD，∠CAD=∠EAB(DAB)，∴△ACD与△AEB全等，∴BE=CD，∠ABE=∠ADC，∴∠DBE=∠FDC(∠ABD=∠ADF，∠ABE-∠ABD=∠ADC-∠ADF)
∵BD=DF，BE=CD，∠DBE=∠FDC，∴△BDE与△DFC全等∴FC=DE，
∵AB=AF，∴FC=AC-AB=DE=2DM。
在(2)(3)中可于AC延长线上取点F，使AF=AB，于AD上取点E，使AM=EM，相似方法可证明AB-AC=2AM